
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item L'aire du rectangle $ABCD$ est égale à $xy$, mais aussi égale à 49. Donc:
\[
y=\dfrac{49}{x}.
\]
Le périmètre de $ABCD$ est $2(x+y)$ soit:
\begin{align*}
2\left(x + \dfrac{49}{x}\right) & = 2x+\dfrac{98}{x}\\
& = \dfrac{2x^2+98}{x}
\end{align*}

\item Si $x=10$, ce périmètre vaut:
\[
\dfrac{2\times10^2+98}{10}=\dfrac{200+98}{10}=29,8.
\]
\underline{Le périmètre du rectangle est donc égal à 29,8 m.}
\end{enumerate}

\item Pour $x>0$, la dérivée de $f(x)$ est:
\begin{align*}
f'(x) & = 2\times1 + 98\times\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\\
& = 2-\dfrac{98}{x^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{2x^2-98}{x^2}}
\end{align*}

\item $f'(x)=0 \iff 2x^2-98=0 \iff x^2 = \dfrac{98}{2} \iff
 x^2=49 \iff x=7\text{ ou }x=-7$. D'où le tableau suivant sur \intervOO{0}{+\infty}:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=corrigenumbg!20,colorV=corrigenumbg!20,colorL=corrigenumbg!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.75,$f(x)$/1.5}{0,7,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,-,z,+,}
\tkzTabVar{D+/,-/28,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item D'après le tableau de variations de $f$, le périmètre est minimal pour $x=7$, et vaut 28 m. Dans ce cas précis, $ABCD$ est un carré.
\end{enumerate}
