
\begin{enumerate}
\item On pose $t=x-8$, donc $x=t+8$; nous pouvons donc remplacer $x$ par $t+8$ dans $(E)$ :
\begin{align*}
\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} = \sqrt[3]{x-8} & \iff \sqrt[3]{t+8} + \sqrt[3]{t-8} = \sqrt[3]{t}
\end{align*}

\item \'Elevons les deux membres de cette dernière équation au cube à l'aide de la formule:
\[
(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)
\]
où $a=\sqrt[3]{t-8}$ et $b=\sqrt[3]{t+8}$:
\begin{align*}
(E) & \iff \big(\sqrt[3]{t+8} + \sqrt[3]{t-8} \big)^3 = \big(\sqrt[3]{t}\big)^3\\
& \iff (t+8)+(t-8)+3\sqrt[3]{t+8}\times\sqrt[3]{t-8}\times\big(\sqrt[3]{t+8}+\sqrt[3]{t-8}\big) = t\\
& \iff 2t + 3\sqrt[3]{(t+8)(t-8)}\big(\sqrt[3]{t+8}+\sqrt[3]{t-8}\big) = t\\
& \iff 3\sqrt[3]{t^2-64}\big(\sqrt[3]{t+8}+\sqrt[3]{t-8}\big)=-t
\end{align*}
Or, d'après $(E)$, $\sqrt[3]{t+8}+\sqrt[3]{t-8}=\sqrt[3]{t}$, d'où:
\begin{align*}
(E) & \iff 3\sqrt[3]{t^2-64}\times\sqrt[3]{t}=-t\\
& \iff 3\sqrt[3]{t(t^2-64)}=-t
\end{align*}
En élevant à nouveau au cube les deux membres de cette dernière équation, nous obtenons:
\begin{align*}
(E) & \iff 3^3t(t^2-64)=(-t)^3\\
& \iff 27t(t^2-64)=-t^3\\
& \iff 27(t^2-64)=-t^2,\quad t\neq0\\
& \iff 27t^2 - \numprint{1728}=-t^2,\quad t\neq0\\
& \iff 28t^2 - \numprint{1728}=0,\quad t\neq0\\
& \iff 28(x-8)^2-\numprint{1728}=0,\quad x\neq8\\
& \iff 28(x^2-16x+64)-\numprint{1728}=0,\quad x\neq8\\
& \iff 28x^2-448x+64=0,\quad x\neq8\\
& \iff 7x^2-112x+16=0,\quad x\neq8\text{(en simplifiant par 4)}
\end{align*}

\item Le discriminant de $7x^2-112x+16$ est:
\[
\Delta = (-112)^2-4\times7\times16 = \numprint{12096}=(24\sqrt{21})^2>0
\]
donc il admet deux racines:
\[
x_1=\dfrac{-(-112)-24\sqrt{21}}{14}=\dfrac{56-12\sqrt{21}}{7}
\]
et sa racine conjuguée:
\[
x_2=\dfrac{56+12\sqrt{21}}{7}.
\]

Ainsi, l'équation $(E)$ a $x_1$ et $x_2$ comme solutions.

De plus, n'oublions pas que nous avons exclus le cas où $x=8$; il faut donc vérifier si $x=8$ est solution ou  pas : sachant que $\sqrt[3]{8}=2$, et donc que $\sqrt[3]{-8}=-2$,

\medskip

\[
(E) \iff 2 + (-2) = 0
\]

\medskip

Cette dernière égalité est vraie, donc 8 est solution de $(E)$. L'ensemble solution de $(E)$ est donc:
\[
\boxed{\mathcal{S}=\left\{8~;~ \dfrac{56-12\sqrt{21}}{7} ~;~\dfrac{56+12\sqrt{21}}{7}\right\} }
\]
\end{enumerate}
