\chapter{Trigonométrie}

\newpage

\section{Cercle trigonométrique}

\subsection{Définitions et représentation}

\begin{defin}
Dans un repère \Rij, on appelle \textbf{cercle trigonométrique} le cercle de centre $O$ et de rayon 1 sur lequel on peut considérer des points $M$ repérés par l'angle formé par les vecteurs $\vv{\imath}$ et $\vv{OM}$, noté \angleor{\imath}{OM}.

\medskip

Le \textbf{sens trigonométrique} est le sens de la rotation qui transforme $\vv{\imath}$ en $\vv{\jmath}$; c'est le sens \textit{positif} (concernant le signe des angles).

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.2,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\draw[red,very thick,->,>=latex] (0,0) -- (1,0) node[midway,below] {$\vv{\imath}$};
\draw[red,very thick,->,>=latex] (0,0) -- (0,1) node[midway,left] {$\vv{\jmath}$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\fill[blue] (30:1) circle (0.25pt) node[above right] {$M(\alpha)$};
\draw[gray] (0,0) -- (30:1);
\draw[->,>=latex,blue,thick] (0.4,0) arc(0:30:0.4);
\node[right,blue] at (15:0.4) {$\alpha$};
\draw[->,>=latex,green!50!black,very thick] (10:1.5) arc(10:50:1.5) node[midway,outer ysep=10mm,fill=defin!30] {$+$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.2,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\draw[red,very thick,->,>=latex] (0,0) -- (1,0) node[midway,below] {$\vv{\imath}$};
\draw[red,very thick,->,>=latex] (0,0) -- (0,1) node[midway,left] {$\vv{\jmath}$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\fill[blue] (30:1) circle (0.5pt) node[above right] {$M(30^\circ)$};
\draw[gray] (0,0) -- (30:1);
\draw[->,>=latex,blue,thick] (0.4,0) arc(0:30:0.4);
\node[right,blue] at (15:0.4) {$30^\circ$};
%
\fill[violet] (-125:1) circle (0.5pt) node[below left] {$M(-125^\circ)$};
\draw[gray] (0,0) -- (-125:1);
\draw[->,>=latex,violet,thick] (0.3,0) arc(0:-125:0.3);
\node[below right,violet] at (-62:0.3) {$-125^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\newpage

\subsection{Radians}

\begin{defin}
Soit $A\coord{1}{0}$.

On appelle \textbf{radian} l'angle dont la longueur de l'arc $\wideparen{AM}$ est égale à 1.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.2,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[very thick,red] (1,0) arc(0:{180/3.14159}:1);
\draw[very thick,red] (0,0) -- (1,0) node[midway] {//};
\node[red,rotate=-45] at ({90/3.14159}:1) {//};
\node[red,right] at ({90/3.14159}:1.2) {$\wideparen{AM}=1$};
\fill[blue] ({180/3.14159}:1) circle (0.5pt) node[above right] {$M(1 \text{ rad})$};
\draw[gray] (0,0) -- ({180/3.14159}:1);
\node[below right] at (1,0) {$A\coord{1}{0}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{defin}

À partir de là, on peut imaginer que l'on enroule la droite des réels sur le cercle trigonométrique, en mettant \og 0 \fg{} sur le point $A$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.2,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[thick,cyan,->,>=latex] (1,-1.2) -- (1,1.2) node[right] {\R};
\node[cyan,below right] at (1,0) {0};
\begin{scope}[shift={(-1,0)}]
\draw[dashed,cyan] (-40:2) arc(-40:40:2);
\end{scope}
\node[cyan] at (0.8,1.2) {$\curvearrowleft$};
\node[cyan,rotate=180] at (0.8,-1.2) {$\curvearrowright$};
\draw[cyan] (0.95,1) -- (1.05,1) node[right] {1};
\draw[->,>=latex,cyan] (1,1) to[bend right=20] ({180/3.14159}:1);
\fill (1,0) circle (1pt) node[above right] {$A$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ainsi, tous les nombres réels vont se retrouver sur le cercle trigonométrique, et vont correspondre à des points $M(\alpha)$.	On dira alors que $M(\alpha)$ est l'image du nombre réel $\alpha$ sur le cercle trigonométrique.


On en déduit alors la propriété suivante :

\begin{prop}
Un point $M$ peut être l'image de plusieurs nombres réels.
\end{prop}

Autrement dit, il existe une infinité de nombres réels qui ont pour image un point donné sur le cercle trigonométrique.

\begin{defin}
\begin{itemize}
\item On appelle \textbf{angle en radians} d'un point $M$ du cercle trigonométrique tout réel dont l'image sur ce cercle est $M$.
\item On appelle \textbf{mesure principale} tout angle dans \intervOF{-\pi}{\pi}.
\end{itemize}
\end{defin}

Ainsi, tous les angles que nous connaissons en degrés auront un équivalent en radians.

\subsection{Valeurs remarquables}

\begin{center}
\arrayrulecolor{titrecolor}
\setlength{\arrayrulewidth}{1pt}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{titrecolor}\color{white}}Sl|*7{Sc|}}
\hline
Angles (en degrés) & 0 & 30 & 45 & 60 & 90 & 180 & 360\\
\hline
Angles (en radians) & 0 & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$ & $2\pi$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Remarquez que ce tableau est un tableau de proportionnalité. Ainsi, pour convertir en radians un angle exprimé en degrés, il suffira de partir, par exemple, du fait que $\pi$ rad = 180$^\circ$.

\begin{exemple}
Pour convertir $72^\circ$ en radians, on calcule :
\[
\dfrac{\pi}{180}\times72 = \dfrac{2\pi}{5}.
\]
Donc $72^\circ=\dfrac{2\pi}{5}$ rad.
\end{exemple}

Les points du cercle trigonométrique images des nombres 0, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$ et $2\pi$ sont les suivants :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=4]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\foreach\a/\p/\n/\c in {30/right/6/orange,45/above right/4/purple,60/above right/3/green!50!black,90/above right/2/cyan}
{
\fill[\c] (\a:1) circle (0.6pt) node[\p] {$\frac{\pi}{\n}$};
}
\fill[red] (-1,0) circle (0.6pt) node[below left] {$\pi$};
\fill[blue] (1,0) circle (0.6pt) node[below right] {$2\pi$};
\fill[blue] (1,0) circle (0.6pt) node[above right] {$0$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

\section{Sinus et cosinus}

\subsection{Définitions}

\begin{defin}
Soit $M(\alpha)$ un point sur le cercle trigonométrique.
\begin{itemize}
\item On appelle \textbf{cosinus} de l'angle $\alpha$, et on note $\cos(\alpha)$ ou $\cos\alpha$, l'abscisse du point $M$;
\item On appelle \textbf{sinus} de l'angle $\alpha$, et on note $\sin(\alpha)$ ou $\sin\alpha$, l'ordonnée du point $M$.
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\fill[red] (40:1) circle (0.6pt) node[above right] {$M(\alpha)$};
\draw[dashed,red] (40:1) -- ({cos(40)},0) node[below] {$\cos\alpha$};
\draw[dashed,red] (40:1) -- (0,{sin(40)}) node[left] {$\sin\alpha$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{defin}

\subsection{Propriété fondamentale}

\begin{prop}[fondamentale trigonométrique]
Pour tout nombre réel $x$,
\[
\cos^2x + \sin^2x = 1.
\]
\end{prop}

\begin{rem}
On peut écrire cette égalité sous la forme :
\[
(\cos x)^2+(\sin x)^2=1.
\]
\end{rem}

\newpage

\begin{demo}
Notons $N$ le point de coordonnées \coord{\cos\alpha}{0}.

Le triangle $OMN$ est rectangle en $N$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\fill[red] (40:1) circle (0.6pt) node[above right] {$M(\alpha)$};
\draw (0,0) -- (40:1) -- ({cos(40)},0) node[below] {$N$};
\draw ({cos(40)-0.1},0)--({cos(40)-0.1},0.1)--({cos(40)},0.1);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, d'après le théorème de Pythagore:
\[
OM^2=ON^2+MN^2.
\]
Or, $OM=1$ (car c'est le rayon du cercle trigonométrique), $ON=\cos\alpha$ et $MN=\sin\alpha$, d'où :
\[
1=(\cos\alpha)^2+(\sin\alpha)^2.
\]
$\alpha$ est un nombre réel et on peut le noter aussi $x$ (ce qui est le cas dans la propriété).
\end{demo}

\subsection{Sinus et cosinus des angles remarquables}

\begin{prop}
\begin{center}
\arrayrulecolor{prop}
\setlength{\arrayrulewidth}{1pt}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{prop}\color{white}}Sl|*6{Sc|}}
\hline
Angles (en radians) & 0 & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$\\
\hline
Cosinus & 1 & $\dfrac{\sqrt3}{2}$ & $\dfrac{\sqrt2}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & 0 & $-1$\\
\hline
Sinus & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt2}{2}$ & $\dfrac{\sqrt3}{2}$ & 1 & 0\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}

\begin{demo}
\begin{itemize}
\item Pour $\dfrac{\pi}{4}$.

Le triangle $OMN$ est rectangle isocèle, donc $\sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}$. La propriété \ref{prop:fondamentale trigonométrique} devient alors :
\[
\cos^2\dfrac{\pi}{4}+\cos^2\dfrac{\pi}{4}=1\qquad\text{soit}\qquad 2\cos^2\dfrac{\pi}{4}=1.
\]
On en déduit alors que :
\[
\cos^2\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2}
\]
et donc :
\[
\cos\dfrac{\pi}{4}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{1\times\sqrt2}{\sqrt2\times\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}
\]
car $\cos\dfrac{\pi}{4}>0$.

\item Pour $\dfrac{\pi}{3}$.

Considérons les points $M\left(\frac{\pi}{3}\right)$ et $N\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ sur le cercle trigonométrique, ainsi que leurs projetés orthogonaux respectifs sur l'axe des abscisses $P$ et $Q$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw (60:1) -- (120:1) -- (0,0) -- cycle;
\draw[dashed] (60:1)--(0.5,0) node[below] {$P$};
\draw[dashed] (120:1)--(-0.5,0) node[below] {$Q$};
\fill[red] (60:1) circle (0.6pt) node[above right] {$M\left(\frac{\pi}{3}\right)$};
\fill[red] (120:1) circle (0.6pt) node[above left] {$N\left(\frac{2\pi}{3}\right)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Le triangle $OMN$ est alors équilatéral car $\widehat{MON}=\dfrac{\pi}{3}$ ($60^\circ$) et $OM = ON$. Ainsi, $MN=MO =1$.

On en déduit que $QP=1$; or, $M$ et $N$ étant symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, il en est de même de $P$ et $Q$. Ainsi, $OP=\dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$.

À l'aide de la propriété \ref{prop:fondamentale trigonométrique}, on en déduit $\sin\dfrac{\pi}{3}$ :
\begin{align*}
\cos^2\dfrac{\pi}{3}+\sin^2\dfrac{\pi}{3}=1 & \iff \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\sin^2\dfrac{\pi}{3}=1\\
& \iff \sin^2\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3}{4}\\
& \iff \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}.
\end{align*}

\item Les sinus et cosinus de $\dfrac{\pi}{6}$ se trouvent par un raisonnement analogue à celui qui vient d'être fait pour $\dfrac{\pi}{3}$. 

Quant aux autres, elles sont immédiates.
\end{itemize}
\end{demo}

\newpage

\subsection{Lien avec le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle}

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.85]
\draw (0,0) node[below left] {$A$} -- (0,3) node[above left] {$B$} -- (4,0) node[below right] {$C$} -- cycle;
\draw (0.2,0) -- (0.2,0.2) -- (0,0.2);
\begin{scope}[shift={(4,0)}]
\draw[red] (-1,0) arc(-180:-217:1);
\node[red,left] at (-198:1.2) {$\alpha$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Au collège, vous avez vu les formules suivantes :
\[
\cos\alpha=\dfrac{AC}{BC}\qquad\text{et}\qquad\sin\alpha=\dfrac{AB}{BC}.
\]
Ces formules ne rentrent pas en contradiction avec celles que nous avons introduites précédemment.\enlargethispage*{2\baselineskip}

En effet, on peut considérer le cercle de centre $C$ passant par $B$ ainsi que deux axes comme sur la figure suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\draw[->,>=latex] (4,-5.2) -- (4,5.5);
\draw[->,>=latex] (-2,0) -- (10,0);
\draw[very thick] (0,0) node[below left] {$A$} -- (0,3) node[above left] {$B$} -- (4,0) node[below right] {$C$} -- cycle;
\draw (0.2,0) -- (0.2,0.2) -- (0,0.2);
\begin{scope}[shift={(4,0)}]
\draw[red] (-1,0) arc(-180:-217:1);
\node[red,left] at (-198:1.2) {$\alpha$};
\end{scope}
\draw (4,0) circle (5);
\end{tikzpicture}
\end{center}

En faisant une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, et en traçant le cercle trigonométrique (de rayon 1, en bleu), on obtient :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\draw[->,>=latex] (4,-5.2) -- (4,5.5);
\draw[->,>=latex] (-2,0) -- (10,0);
\draw[very thick] (8,0) node[below left] {$A$} -- (8,3) node[above right] {$B$} -- (4,0) node[below right] {$C$} -- cycle;
\begin{scope}[shift={(4,0)}]
\draw[red] (1,0) arc(0:37:1);
\node[red,right] at (18:1.2) {$\alpha$};
\end{scope}
\draw (4,0) circle (5);
\draw[blue] (4,0) circle (3);
\draw[dashed,blue] ($(4,0)+(37:3)$) node[above] {$M$} -- ({4+3*cos(37)},0) node[below] {$N$};
\draw[dashed,blue] ($(4,0)+(37:3)$) -- (4,{3*sin(37)}) node[left] {$S$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Par construction, $(MN)//(AB)$ donc d'après le théorème de Thalès :
\[
\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{MN}{AB}\qquad\text{soit}\qquad\dfrac{\cos\alpha}{CA}=\dfrac{1}{CB}=\dfrac{\sin\alpha}{AB}.
\]
On en déduit (à l'aide de la première égalité) :
\[
\dfrac{\cos\alpha}{CA}=\dfrac{1}{CB} \iff \cos\alpha=\dfrac{CA}{CB}
\]
et (à l'aide de la seconde égalité) :
\[
\dfrac{1}{CB}=\dfrac{\sin\alpha}{AB}\iff\sin\alpha=\dfrac{AB}{CB}.
\]
Ainsi, à partir des définitions vues cette année, on peut retrouver celles vues en collège.

%\subsection{Formules de rotation}
%\label{trigo-formules-rotation}
%\begin{prop}
%Pour tout réel $x$,
%\begin{itemize}
%\begin{multicols}{2}
%\item $\cos(\pi-x) = -\cos(x)$
%\item $\cos(\pi+x) = -\cos(x)$
%\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \sin(x)$
%\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = -\sin(x)$
%\columnbreak
%\item $\sin(\pi-x) = \sin(x)$
%\item $\sin(\pi+x) = -\sin(x)$
%\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x)$
%\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = \cos(x)$
%\end{multicols}
%\end{itemize}
%\end{prop}
%
%Regardons par exemple $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x)$ sur le cercle trigonométrique:
%
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\draw[->,>=latex] (-3.5,0) -- (3.5,0);
%\draw[->,>=latex] (0,-3.5) -- (0,3.5);
%\draw (0,0) circle (3cm);
%\draw (0,0) -- (20:3);
%\draw[->] (1,0) arc(0:20:1);
%\node[right] at (10:1.1) {$x$};
%\draw[very thick,red] (0,0) -- ({3*cos(20)},0) node[below,midway] {$\cos x$};
%\draw[dashed,blue] (0,0) -- (70:3) -- (0,{3*sin(70)});
%\draw[->,dashed,blue] (0.5,0) arc(0:70:0.5);
%\draw[very thick,red] (0,0) -- (0,{3*sin(70)}) node[above,midway,rotate=90] {$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$};
%\draw[dashed] ({3*cos(20)},0) -- (20:3);
%\node[rotate=45,right,blue] at (40:0.7) {$\frac{\pi}{2}-x$};
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
%En traçant l'angle $\dfrac{\pi}{2}-x$ et en regardant son sinus, on constate que la longueur du segment est identique à celle correspondant au $\cos x$.
%
%Ce n'est pas une preuve de l'égalité mais un moyen pour retrouver facilement toutes les égalités de la propriété.
%
%\subsection{\'Equations}
%
%\begin{prop}
%\begin{itemize}
%\item $\cos x = \cos a \iff x = a+2k\pi\text{ ou } x=-a+2k\pi,\ k\in\Z$.
%\item $\sin x = \sin a \iff x = a + 2k\pi\text{ ou }x=\pi-a+2k\pi,\ k\in\Z$.
%\end{itemize}
%\end{prop}
%
%\begin{exemple}
%\begin{itemize}
%\item $\cos x = \cos\dfrac{\pi}{3} \iff x = \dfrac{\pi}{3}+2k\pi\text{ ou }x = -\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\Z$.
%\item $\sin x = \sin \dfrac{\pi}{4} \iff x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\text{ ou }x=\pi-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi = \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi,\ k\in\Z$.
%\end{itemize}
%\end{exemple}

\section{Fonctions sinus et cosinus}

\subsection{Parité}

\begin{defin}
\begin{itemize}
\item On dit qu'une fonction est \textbf{paire} si son domaine de définition $\mathcal{D}$ est centré en 0 et si, pour tout $x$ dans $\cal D$, $f(-x)=f(x)$.

\item On dit qu'une fonction est \textbf{impaire} si son domaine de définition $\mathcal{D}$ est centré en 0 et si, pour tout $x$ dans $\cal D$, $f(-x)=-f(x)$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item La fonction $x\mapsto\cos x$ est paire.
\item La fonction $x\mapsto\sin x$ est impaire.
\end{itemize}
\end{prop}


\begin{demo}
\begin{itemize}
\item Fonction $x\mapsto\cos x$.

Son domaine de définition est \R, donc centré en 0.

De plus, nous avons :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[dashed] (50:1)--(-50:1);
\fill[red] (50:1) circle (0.6pt) node[above right] {$M(x)$};
\fill[red] (-50:1) circle (0.6pt) node[below right] {$M'(-x)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, $\cos(-x) = \cos(x)$. La fonction $x\mapsto\cos x$ est donc paire.

\item Fonction $x\mapsto\sin x$.

Son domaine de définition est \R, donc centré en 0.

De plus, nous avons :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[dashed] (50:1)--(0,{sin(50)}) node[left] {$\sin x$};
\draw[dashed] (-50:1)--(0,{sin(-50)}) node[left] {$\sin(-x)$};
\fill[red] (50:1) circle (0.6pt) node[above right] {$M(x)$};
\fill[red] (-50:1) circle (0.6pt) node[below right] {$M'(-x)$};
\draw[thick,cyan] (0,0)--(0,{sin(50)}) node[midway,rotate=90] {//};
\draw[thick,cyan] (0,0)--(0,{sin(-50)}) node[midway,rotate=90] {//};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, $\sin(-x) = -\sin(x)$ (car $M$ et $M'$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses).
\end{itemize}
\end{demo}

\subsection{Périodicité}


\begin{defin}
On dit qu'une fonction $f$ est \textbf{$\pmb{T}$-périodique} si son domaine de définition $\cal D$ est centré en 0 et si, pour tout réel de $\cal D$,
\[
f(x+T)=f(x).
\]
\end{defin}


\begin{prop}
Les fonctions $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto\sin x$ sont $2\pi$-périodiques.
\end{prop}

\begin{demo}
La longueur du cercle trigonométrique est égale à $2\pi$. Ainsi, les nombres $x$ et $x+2\pi$ auront la même image sur le cercle trigonométrique, ce qui signifie que :
\[
\cos(x)=\cos(x+2\pi)\qquad\text{et}\qquad\sin(x)=\sin(x+2\pi).
\]
De plus, les deux fonctions sont définies sur \R (qui est centré en 0).

Donc $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto\sin x$ sont $2\pi$-périodiques.
\end{demo}

\begin{rem}
On peut aussi dire que les fonctions sont périodiques de période $2\pi$.
\end{rem}

\subsection{Courbes représentatives}

\begin{itemize}
\item Le fait de dire que les fonctions $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto\sin x$ sont $2\pi$-périodiques signifie que si on prend n'importe quel intervalle d'amplitude $2\pi$, le motif de la courbe représentative trouvé sur cet intervalle pourra se répéter. 

On peut alors tracer les courbes représentatives sur l'intervalle \intervFF{-\pi}{\pi}, et déduire la totalité des courbes par translations de vecteurs $\vv{u}\dbinom{2k\pi}{0}$, $k\in\Z*$.

\item Le fait de dire que $x\mapsto\cos x$ est paire signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (car $f(-x)=f(x)$).

De plus, le fait de dire que $x\mapsto\sin x$ est impaire signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère (car $f(-x)=-f(x)$).
\end{itemize}


On peut alors tracer les courbes représentatives sur l'intervalle \intervFF{0}{\pi}, et déduire les courbes par symétries (axiale ou centrale). Au final, les courbes représentatives sont les suivantes.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->,thick] (-7,0) -- (7,0);
\draw[->,thick] (0,-2) -- (0,2);
\draw[orange] plot[domain=-7:7,samples=100] (\x,{1.5*cos(180*\x/3.14159)});
\draw[red!50!black,very thick] plot[domain=-3.14:3.14,samples=100] (\x,{1.5*cos(180*\x/3.14159)});
\draw[cyan] plot[domain=-7:7,samples=100] (\x,{1.5*sin(180*\x/3.14159)});
\draw[blue!50!black,very thick] plot[domain=-3.14:3.14,samples=100] (\x,{1.5*sin(180*\x/3.14159)});
\draw[thick,orange] (-7,2.5) -- (-6,2.5) node[right] {$\cos x$};
\draw[thick,cyan] (-7,2) -- (-6,2) node[right] {$\sin x$};
\node[below right] at (0,0) {0};
\node[below left] at ({3.14159/2},0) {$\frac{\pi}{2}$};
\node[below left] at ({3.14159},0) {$\pi$};
\node[below right] at ({3*3.14159/2},0) {$\frac{3\pi}{2}$};
\node[below right] at ({2*3.14159},0) {$2\pi$};
%
\node[below right] at ({-3.14159/2},0) {$-\frac{\pi}{2}$};
\node[below right] at ({-3.14159},0) {$-\pi$};
\node[below left] at ({-3*3.14159/2},0) {$-\frac{3\pi}{2}$};
\node[below left] at ({-2*3.14159},0) {$-2\pi$};
%
\draw[dashed] (-3.14,-2) -- (-3.14,2);
\draw[dashed] (3.14,-2) -- (3.14,2);
%
\node[right,scale=0.7] (n) at (3.4,1.8) {Motifs répétés par translations};
\draw[<-,cyan] (0.3,{1.5*sin(180*0.3/3.14159)}) -- (n.west);
\draw[<-,orange] (0.3,{1.5*cos(180*0.3/3.14159)}) -- (n.west);
\end{tikzpicture}
\end{center}


\exercices

\subsection*{Cercle trigonométrique et angles}

%%%

\begin{exocor}{conversion de mesures}[1]
\begin{enumerate}
\item Convertir $\dfrac{7\pi}{18}$ radians en degrés.
\item Convertir $72^\circ$ en radians.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{7\pi}{18}$ radians correspond à $\dfrac{7\times180^\circ}{18}=70^\circ$.
\item $72^\circ = 72 \times\dfrac{\pi}{180}\text{ radians}=\dfrac{2\pi}{5}\text{ radians}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{placement de points}[1]
Placer sur le cercle trigonométrique les angles suivants :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $-\dfrac{5\pi}{6}$
\item $\dfrac{7\pi}{4}$
\item $\frac{\pi}{3}$
\item $\dfrac{\pi}{4}$
\item $\dfrac{\pi}{6}$
\item $-\dfrac{2\pi}{3}$
\item $-\frac{3\pi}{4}$
\item $-\frac{13\pi}{3}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=3.5]
\draw[dotted] (-1,-1) grid[step=0.1] (1,1);
\draw[very thick] (0,0) circle (1cm);
\draw[very thick,->,>=latex] (-1.1,0) -- (1.1,0);
\draw[very thick,->,>=latex] (0,-1.1) -- (0,1.1);
\node[below left] at (0,0) {0};
\node[below right] at (1,0) {1};
\node[above right] at (0,1) {1};
%
\fill[orange] ({-5*180/6}:1) circle (0.5pt) node[below left] {$-\frac{5\pi}{6}$};
\fill[red] ({7*180/4}:1) circle (0.5pt) node[below right] {$\frac{7\pi}{4}$};
\fill[blue] (60:1) circle (0.5pt) node[above right] {$\frac{\pi}{3}$};
\fill[green!50!black] (45:1) circle (0.5pt) node[above right] {$\frac{\pi}{4}$};
\fill[orange] (30:1) circle (0.5pt) node[above right] {$\frac{\pi}{6}$};
\fill[purple] ({2*180/3}:1) circle (0.5pt) node[above left] {$\frac{2\pi}{3}$};
\fill[violet] ({-3*180/4}:1) circle (0.5pt) node[below left] {$-\frac{3\pi}{4}$};
\fill[brown] ({-13*180/3}:1) circle (0.5pt) node[below right] {$-\frac{13\pi}{3}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{mesure principale}[1]
Attribuer à chaque point sur le cercle trigonométrique ci-dessous la mesure principale de l'angle qui lui est associé.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[gray,dotted] (-3,-3) grid[step=0.75cm] (3,3);
\draw[->] (-3,0) -- (3,0);
\draw[->] (0,-3) -- (0,3);
\draw (0,0) circle (3cm);
\foreach \a/\P/\w in {
30/D/right,
45/G/above right,
60/C/above,
135/F/above left,
150/A/left,
210/E/below left,
300/B/below right%
}
{
\draw[dashed] (0,0) -- (\a:3cm) node[\w] {\P};
\fill[blue] (\a:3cm) circle (1pt);
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\tcblower

\begin{itemize}
\begin{multicols}{4}
\item A : $\dfrac{5\pi}{6}$
\item B : $-\dfrac{\pi}{3}$
\item C : $\dfrac{\pi}{3}$
\item D : $\dfrac{\pi}{6}$
\item E : $-\dfrac{5\pi}{6}$
\item F : $\dfrac{3\pi}{4}$
\item G : $\dfrac{\pi}{4}$
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{mesure principale}[2]
Déterminer la mesure principale de chacun des angles suivants.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\dfrac{17\pi}{3}$
\item $-\dfrac{8\pi}{3}$
\item $\dfrac{9\pi}{5}$
\item $-\dfrac{\numprint{2015}\pi}{6}$
\item $\dfrac{\numprint{9999}\pi}{7}$
\item $-\dfrac{78\pi}{9}$
\item $\dfrac{89\pi}{9}$
\item $-\dfrac{107\pi}{13}$
\item $\dfrac{21\pi}{2}$
\item $-\dfrac{\numprint{123321}\pi}{123}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{17\pi}{3}=\dfrac{(6\times3-1)\pi}{3}=6\pi-\dfrac{\pi}{3}$ donc la mesure principale est $-\dfrac{\pi}{3}$.

\item $-\dfrac{8\pi}{3}=-\dfrac{(2\times3+2)\pi}{3}=-\dfrac{6\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=2\pi-\dfrac{2\pi}{3}$ ; la mesure principale est donc $-\dfrac{2\pi}{3}$.

\item $\dfrac{9\pi}{5}=\dfrac{(2\times5-1)\pi}{5}=\dfrac{10\pi}{5}-\dfrac{\pi}{5}=2\pi-\dfrac{\pi}{5}$ ; la mesure principale est donc $-\dfrac{\pi}{5}$.

\item $-\dfrac{\numprint{2015}\pi}{6}$. On commence par calculer $\numprint{2015}\div6\approx335,83$, ce qui est plus proche de 336 que de 334 (il nous faut un nombre pair). On écrit alors :

$-\dfrac{\numprint{2015}\pi}{6}=-\dfrac{(336\times6-1)\pi}{6}=-336\pi+\dfrac{\pi}{6}$ ; la mesure principale est donc $\dfrac{\pi}{6}$.

\newpage

\item $\dfrac{\numprint{9999}\pi}{7}$.

$\numprint{9999}\div7\approx\numprint{1428,4}$ donc on écrit :

$\dfrac{\numprint{9999}\pi}{7}=\dfrac{(\numprint{1428}\times7+3)\pi}{7}=\numprint{1428}\pi+\dfrac{3\pi}{7}$. Ainsi, la mesure principale est $\dfrac{3\pi}{7}$.

\item $-\dfrac{78\pi}{9}=-\dfrac{(8\times9+6)\pi}{9}=-8\pi-\dfrac{6\pi}{9}=-8\pi-\dfrac{2\pi}{3}$. La mesure principale est donc $-\dfrac{2\pi}{3}$.

\item $\dfrac{89\pi}{9}=\dfrac{(10\times9-1)\pi}{9}=10\pi-\dfrac{\pi}{9}$ donc la mesure principale est $\dfrac{\pi}{9}$.

\item $-\dfrac{107\pi}{13}=-\dfrac{(8\times13+3)\pi}{13}=-8\pi-\dfrac{3\pi}{13}$ donc la mesure principale est $-\dfrac{3\pi}{13}$.

\item $\dfrac{21\pi}{2}=\dfrac{(10\times2+1)\pi}{2}=10\pi+\dfrac{\pi}{2}$ donc la mesure principale est $\dfrac{\pi}{2}$.

\item $-\dfrac{\numprint{123321}\pi}{123}=-\dfrac{(\numprint{1002}\times123+75)\pi}{123}=-\numprint{1002}\pi-\dfrac{75\pi}{123}$ donc la mesure principale est $-\dfrac{75\pi}{123}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{Sinus et cosinus}

%%%

\begin{exocor}{calcul d'une somme trigonométrique}[1]
Calculer $\left(\cos\dfrac{\pi}{5}+\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^2+\left(\cos\dfrac{\pi}{5}-\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^2$.

\tcblower

\begin{align*}
\left(\cos\dfrac{\pi}{5}+\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^2+\left(\cos\dfrac{\pi}{5}-\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^2
& = \cos^2\dfrac{\pi}{5}+2\cos\dfrac{\pi}{5}\sin\dfrac{\pi}{5} + \sin^2\dfrac{\pi}{5}\\
& \hspace*{4cm} + \cos^2\dfrac{\pi}{5}-2\cos\dfrac{\pi}{5}\sin\dfrac{\pi}{5} + \sin^2\dfrac{\pi}{5}\\
& = 2\underbrace{\left(\cos^2\dfrac{\pi}{5} + \sin^2\dfrac{\pi}{5}\right)}_{=1\text{ car }\cos^2x+\sin^2x=1}\\
& = 2.
\end{align*}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{calculs}[2]
\begin{enumerate}
\item Calculer $\cos\left(\dfrac{215\pi}{6}\right)$.
\item Calculer $\sin\left(\dfrac{316\pi}{6}\right)$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\cos\dfrac{215\pi}{6}=\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

\item $\sin\dfrac{316\pi}{6}=\sin \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{déductions}[2]
\begin{enumerate}
\item  Un logiciel de calcul donne : $\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)=\dfrac{1+\sqrt5}{4}$.

En déduire la valeur exacte de $\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$.

\item Soit $x$ un réel de l'intervalle \intervFF{\dfrac{\pi}{2}}{\pi} tel que $\sin(x)=\dfrac{4}{5}$.

Calculer $\cos(x)$.

\item On donne $\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$.

Montrer que $\sqrt{2+\sqrt3}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{2}$, puis donner la valeur exacte simplifiée de $\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $0<\dfrac{\pi}{5}<\dfrac{\pi}{2}$ donc $\sin\dfrac{\pi}{5}>0$.

De plus, d'après le cours, pour tout réel $x$, $\cos^2+\sin^2x=1$ donc, en prenant $x=\dfrac{\pi}{5}$, cela donne :
\begin{align*}
\left(\cos\dfrac{\pi}{5}\right)^2+\left(\sin\frac{\pi}{5}\right)^2=1 & \iff
\left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^2=1-\left(\cos\frac{\pi}{5}\right)^2\\
& \iff \left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^2=1-\left(\frac{1+\sqrt5}{4}\right)^2\\
& \iff \left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^2=1-\dfrac{1+2\sqrt5+5}{16}\\
& \iff \left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^2=\dfrac{16-6-2\sqrt5}{16}\\
& \iff \left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^2=\dfrac{5-\sqrt5}{8}\\
& \iff \boxed{\sin\dfrac{\pi}{5}=\sqrt{\dfrac{5-\sqrt5}{8}}}
\end{align*}

\item $\dfrac{\pi}{2}\leqslant x \leqslant \pi$ donc $\cos x\leqslant0$.

De plus, 
\begin{align*}
\cos^x + \sin^2x = 1 & \iff \cos^2x = 1-\sin^2x\\
& \iff \cos^2x = 1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\\
& \iff \cos^2x=1-\dfrac{16}{25}\\
& \iff \cos^2x = \dfrac{9}{25}\\
& \iff \boxed{\cos x = -\dfrac{3}{5}}
\end{align*}

\item $\big(\sqrt{2+\sqrt3}\big)^2=2+\sqrt3$.

De plus, $\begin{aligned}[t]
\left(\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{2}\right)^2
& = \dfrac{2+2\sqrt{12}+6}{4}\\
& = \dfrac{8+2\sqrt{4\times3}}{4}\\
& = \dfrac{8+4\sqrt3}{4}\\
& = \dfrac{4(2+\sqrt3)}{4}\\
& =2+\sqrt3.
\end{aligned}$

Ainsi, $\big(\sqrt{2+\sqrt3}\big)^2= \left(\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{2}\right)^2$, donc $\sqrt{2+\sqrt3} = \dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{2}$ (car les deux nombres sont positifs).

\medskip

$0<\dfrac{7\pi}{12}<\pi$ donc $\sin\dfrac{7\pi}{12}>0$. Donc,
\begin{align*}
\sin\dfrac{7\pi}{12} & =\sqrt{1-\cos^2\dfrac{7\pi}{12}}\\
& = \sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\right)^2}\\
& = \sqrt{1-\dfrac{2-2\sqrt{12}+6}{16}}\\
& = \sqrt{\dfrac{8+2\sqrt{12}}{16}}\\
& = \sqrt{\dfrac{8+2\sqrt{4\times3}}{16}}\\
&  = \sqrt{\dfrac{8+4\sqrt{3}}{16}}\\
& = \sqrt{\dfrac{2+\sqrt3}{4}}\\
& = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}\\
& = \dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\quad\text{d'après la question précédente}.
\end{align*} 
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{déductions}[2]
\begin{enumerate}
\item Après quelques calculs, Pierre affirme que le sinus d'un angle a une valeur exacte égale à $\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{2}$.

Pourquoi cette valeur est obligatoirement fausse ?

\item L'erreur étant rectifiée, le sinus de cet angle a pour valeur exacte $\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{4}$.

Donner les valeurs exactes possibles du cosinus de cet angle.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{2}>1$; or, pour tout réel $x$, $-1\leqslant\sin x\leqslant 1$. 

Donc $\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{2}$ ne peut pas représenter un sinus.

\item $\begin{aligned}[t]
\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 & \iff \cos^2\alpha = 1-\left(\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{4}\right)^2\\[10pt]
& \iff \cos^2\alpha = 1-\dfrac{2+2\sqrt6+3}{16}\\[10pt]
& \iff \cos^2\alpha = \dfrac{11-2\sqrt6}{16}\\[10pt]
& \iff \boxed{\cos\alpha = -\sqrt{\dfrac{11-2\sqrt6}{16}}\text{  ou  }\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{11-2\sqrt6}{16}}}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{\'Equations trigonométriques}

%%%

\begin{exocor}{équations trigonométriques}[1]
Résoudre sur \intervFO{0}{2\pi} les équations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\cos x=\dfrac{1}{2}$
\item $\sin x=\dfrac{1}{2}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-1em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\cos x=\dfrac{1}{2} & \Longleftrightarrow \cos x=\cos \dfrac{\pi}{3}\\
& \Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}\text{ ou } x=-\dfrac{\pi}{3}\quad\text{ sur }\intervFO{0}{2\pi}.
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\sin x=\dfrac{1}{2} & \Longleftrightarrow \sin x=\sin \dfrac{\pi}{6}\\
& \Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}\text{ ou }x=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\quad\text{ sur }\intervFO{0}{2\pi}.
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{équations trigonométriques}[1]
Résoudre les équations suivantes sur $]-\pi;\pi]$:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\cos(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$
\item $\sin(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$
%\item $\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$
%\item $\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-1em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\cos(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2} & \iff \cos(x)=-\cos\dfrac{\pi}{6}\\
& \iff \cos(x) = \cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)\\
& \iff \cos(x) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\\
& \iff x = \dfrac{5\pi}{6} \text{ ou }x=-\dfrac{5\pi}{6} \quad \text{sur }]-\pi;\pi].
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\sin(x)=\dfrac{\sqrt2}{2} & \iff \sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\
& \iff x = \dfrac{\pi}{4}\text{ ou }x = \dfrac{3\pi}{4}\quad\text{sur }]-\pi;\pi].
\end{aligned}$

%\item $\begin{aligned}[t]
%\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} & \iff \cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\\
%& \iff 2x+\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}+2k\pi\text{ ou }2x+\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\Z\\
%& \iff 2x=0+2k\pi\text{ ou }2x=-\dfrac{2\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\Z\\
%& \iff x = k\pi\text{ ou }x = -\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\Z.
%\end{aligned}$
%
%Ainsi, sur $]-\pi;\pi]$, les solutions sont (en prenant $k=0$ et $k=1)$ : 0, $\pi$, $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.

%\item Pour résoudre l'inéquation $\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2}$, on peut poser $X=3x-\dfrac{\pi}{6}$ dans un premier temps.
%\[
%\sin X \geqslant \dfrac{1}{2} \iff \sin X \geqslant \sin \dfrac{\pi}{6} \iff  \dfrac{\pi}{6} \leqslant X \leqslant \pi-\dfrac{\pi}{6}
%\]
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\draw (0,0) circle (2cm);
%\draw[->,>=latex] (-2.2,0) -- (2.2,0);
%\draw[->,>=latex] (0,-2.2) -- (0,2.2);
%\draw[very thick,red] (30:2) arc(30:150:2);
%\draw[dashed] (0,0) -- (30:2)-- (150:2) -- cycle;
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
%\begin{align*}
%\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)\geqslant\dfrac{1}{2} & \iff \dfrac{\pi}{6}+2k\pi \leqslant 3x-\dfrac{\pi}{6} \leqslant\pi-\dfrac{\pi}{6} +2k\pi,\ k\in\Z\\
%& \iff \dfrac{\pi}{3}+2k\pi \leqslant 3x \leqslant \pi+2k\pi,\ k\in\Z\\
%& \iff \dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3} \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{3} +\dfrac{2k\pi}{3},\ k\in\Z
%\end{align*}
%\begin{itemize}
%\item Pour $k=0$, on obtient : $\dfrac{\pi}{9} \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{3}$.
%\item Pour $k=-1$, on obtient : $-\dfrac{5\pi}{9} \leqslant x \leqslant -\dfrac{\pi}{3}$.
%\item Pour $k=1$, on obtient : $\dfrac{7\pi}{9} \leqslant x \leqslant \pi$.
%\end{itemize}
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\draw (0,0) circle (2cm);
%\draw[->,>=latex] (-2.2,0) -- (2.2,0);
%\draw[->,>=latex] (0,-2.2) -- (0,2.2);
%\draw[very thick,red] (20:2) arc(20:60:2);
%\node[right,red] at (20:2) {$\frac{\pi}{9}$};
%\node[above right,red] at (60:2) {$\frac{\pi}{3}$};
%%
%\draw[very thick,red] (-100:2) arc(-100:-60:2);
%\node[below,red] at (-60:2) {$-\frac{\pi}{3}$};
%\node[below left,red] at (-100:2) {$-\frac{5\pi}{9}$};
%%
%\draw[very thick,red] (140:2) arc(140:180:2);
%\node[above,red] at (140:2) {$\frac{7\pi}{9}$};
%\node[above left,red] at (180:2) {$\pi$};
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{équation se ramenant au second degré}[2]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\sqrt{16+8\sqrt3}=2+2\sqrt3$.
\item Résoudre sur \intervFF{0}{2\pi} l'équation:
\[
4\cos^2(x)  + 2\big(\sqrt3-1\big)\cos(x) - \sqrt3 = 0.
\]
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\big(2+2\sqrt3\big)^2 & = 4 + 8\sqrt3 + 4\times3\\
& = 16+8\sqrt3.
\end{aligned}$

Comme $2+2\sqrt3 > 0$, 
\[
\big(2+2\sqrt3\big)^2 = 16+8\sqrt3 \iff 2+2\sqrt3 = \sqrt{16+8\sqrt3}.
\]

\item Pour résoudre sur \intervFF{0}{2\pi} l'équation:
\[
4\cos^2(x)  + 2\big(\sqrt3-1\big)\cos(x) - \sqrt3 = 0\,,
\]
on pose:
\[
X = \cos (x).
\]
Ainsi, l'équation est équivalente à :
\[
4X^2 + 2\big(\sqrt3-1\big)X - \sqrt3 = 0.
\]
C'est une équation du second degré, dont le discriminant vaut:
\begin{align*}
\Delta & = \Big[2\big(\sqrt3-1\big)\Big]^2 - 4 \times( - \sqrt3)\times4\\
       & = 4(3-2\sqrt3+1)+16\sqrt3\\
       & = 12-8\sqrt3+4+16\sqrt3\\
       & = 16+8\sqrt3\\
       & = \big(2+2\sqrt3\big)^2.
\end{align*}
Ainsi, il y a deux solutions distinctes à notre équation:
\begin{align*}
X_1 & = \dfrac{-2\big(\sqrt3-1\big)-\big(2+2\sqrt3\big)}{8} = \dfrac{-4\sqrt3}{8}=\dfrac{\sqrt3}{2}.\\
X_2& = \dfrac{-2\big(\sqrt3-1\big)+\big(2+2\sqrt3\big)}{8} = \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}.
\end{align*}
Si on se ramène à présent à $x$, l'inconnue de départ, on a:
\[
\begin{cases}
\cos(x_1) = \dfrac{\sqrt3}{2}\\
\cos(x_2) = \dfrac{1}{2}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x_1 = \frac{\pi}{6}\text{ ou } x_1=\dfrac{11\pi}{6}\\
x_2 = \dfrac{\pi}{3}\text{ ou }x_2=\dfrac{5\pi}{3}.
\end{cases}
\]
L'ensemble solution de l'équation est alors:
\[
\boxed{\mathcal{S} = \left\{ \frac{\pi}{6}~;~\frac{\pi}{3}~;~\frac{5\pi}{3}~;~\frac{11\pi}{6} \right\}}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{équation se ramenant au second degré}[3]
On considère l'équation d'inconnue $x$ suivante:
\[
81^{\sin^2(x)} + 81^{\cos^2(x)} = 30.\tag{E}
\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation:
\[
v^2 -30v + 81=0.
\]
\item En déduire les solutions de $(E)$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le discriminant de $v^2 -30v + 81$ est:
\[
\Delta = (-30)^2 - 4 \times 1 \times 81 = 576 = 24^2.
\]
Donc l'équation $v^2 -30v + 81=0$ admet deux solutions:
\[
v_1 = \dfrac{30-24}{2}=3\qquad\text{et}\qquad v_2=27.
\]

\item En posant $v = 81^{\sin^2(x)}$, et en tenant compte du fait que pour tout réel $x$,\linebreak  $\cos^2(x) = 1-\sin^2(x)$,
\begin{align*}
(E) & \iff v + \frac{81}{v} = 30\\
    & \iff v^2 + 81 = 30v\\
    & \iff v^2 - 30v + 81 = 0\\
    & \iff v = 3\text{ ou } v=27\\
    & \iff \big(3^4\big)^{\sin^2(x)} = 3 \text{ ou } \big(3^4\big)^{\sin^2(x)} = 3^3\\
    & \iff 3^{4\sin^2(x)}=3^1 \text{ ou } 3^{4\sin^2(x)}=3^3
    \end{align*}
    
    \begin{align*}
    & \iff 4\sin^2(x) = 1 \text{ ou } 4\sin^2(x) = 3\\
    & \iff \sin^2(x) = \dfrac{1}{4} \text{ ou } \sin^2(x) = \dfrac{3}{4}\\
    & \iff \sin(x) = -\dfrac{\sqrt2}{2}\text{ ou }\sin(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}\text{ ou }\sin(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}\text{ ou }\sin(x)=\dfrac{\sqrt3}{2}.
\end{align*}
L'ensemble solution de l'équation $81^{\sin^2(x)} + 81^{\cos^2(x)} = 30$ est donc:
\[
\boxed{ \mathcal{S} = \left\{ -\dfrac{\sqrt2}{2}~;\dfrac{\sqrt2}{2}~~;~ -\dfrac{\sqrt3}{2} ~;~ \dfrac{\sqrt3}{2} \right\} }
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

\subsection*{Fonctions}

%%%

\begin{exocor}{}[1]
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par :
\[
f(x)=\big(\cos x + \sin x\big)^2 + \big(\cos x - \sin x\big)^2.
\]
Montrer que $f$ est une fonction constante.

\tcblower

Développons $f(x)$ :
\begin{align*}
f(x)&=\big(\cos x + \sin x\big)^2 + \big(\cos x - \sin x\big)^2\\
& = \cos^2x+\cancel{2\cos x\sin x}+\sin^2x + \cos^2x - \cancel{2\cos x\sin x} + \sin^2x\\
& = 2(\cos^2x+\sin^2x)\\
& = 2 \times 1\\
& = 2.
\end{align*}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{périodicité}[1]
On définit la fonction $f$ par :
\[
f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin^4 x}.
\]
Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique.

\tcblower

On sait que $\cos(x+2\pi)=\cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$. Par conséquent, pour tout réel $x$,
\begin{align*}
f(x+2\pi) & = \dfrac{\cos (x+2\pi)}{1+\big(\sin(x+2\pi)\big)^4}\\
& = \dfrac{\cos x}{1+ (\sin x)^4}\\
& = f(x).
\end{align*}

\underline{Ainsi, $f$ est $2\pi$-périodique.}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{parité et périodicité}[1]
On considère la fonction définie sur $\R$ par :
\[ f(x)=\cos^3x\cos(3x). \]
Montrer que $f$ est $\pi$-périodique et paire.

\tcblower

\begin{itemize}
\item Montrons d'abord que $f$ est $\pi$-périodique.
\begin{align*}
f(x+\pi) 
& = \big[\cos(x+\pi)\big]^3\cos\big(3(x+\pi)\big)\\
& = \big[-\cos x\big]^3\cos(3x+3\pi)\\
& = -\cos^3x\cos(3x+\pi)\\
& = -\cos^3x\big(-\cos(3x)\big)\\
& = \cos^3x\cos(3x)\\
f(x+\pi) & = f(x)\qquad\text{\underline{donc $f$ est $\pi$-périodique.}}
\end{align*}


\bigskip

On peut donc réduire l'intervalle d'étude à un intervalle d'amplitude $\pi$, par exemple \intervFF{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}.

\bigskip

\item Montrons que $f$ est paire. D'abord, le domaine de définition de $f$ est centré en 0. De plus, 
\begin{align*}
f(-x) & = \big[\cos(-x)\big]^3\cos(-3x)\\[6pt]
& = \big[\cos x\big]^3\cos(3x)\\[6pt]
& = \cos^3x\cos(3x)\\[6pt]
f(-x) & = f(x) \qquad \text{\underline{Donc $f$ est paire.}}
\end{align*}
\end{itemize}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{parité et périodicité}[1]
On considère la fonction définie sur $\R$ par :
\[ f(x)=\sin^3x\cos(3x). \]
Montrer que $f$ est $\pi$-périodique et impaire.

\tcblower

\begin{itemize}
\item Montrons d'abord que $f$ est $\pi$-périodique.
\begin{align*}
f(x+\pi) & = \big[\sin(x+\pi)\big]^3\cos\big[3(x+\pi)\big]\\[6pt]
& = \big[-\sin x\big]^3\cos(3x+3\pi)\\[6pt]
& = -\sin^3x\cos(3x+\pi)\\[6pt]
& = -\sin^3x\big[-\cos(3x)\big]\\[6pt]
& = \sin^3x\cos(3x)\\[6pt]
\Aboxed{f(x+\pi) & = f(x)}
\end{align*}

La fonction $f$ est donc $\pi$-périodique ; on peut donc restreindre l'intervalle d'étude de $f$ à un intervalle d'amplitude $\pi$, par exemple \intervFF{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}.

\item Montrons que $f$ est impaire. Le domaine de définition de $f$ est centré en 0. De plus,
\begin{align*}
f(-x) & = \big[\sin(-x)\big]^3\cos(-3x)\\[6pt]
& = \big[-\sin x\big]^3\cos(3x)\\[6pt]
& = -\sin^3x\cos(3x)\\[6pt]
\Aboxed{f(-x) & = -f(x)}
\end{align*}

La fonction $f$ est donc impaire ; on peut donc réduire l'intervalle d'étude précédent à sa moitié, donc à \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}.
\end{itemize}
\vspace*{2cm}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{}[1]
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par:
\[
f(x)=1+\sin(x)-\dfrac{1}{2}\cos(2x).
\]
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est-elle paire ? Impaire ? Justifier.
\item Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique.
\end{enumerate}
\vspace{-1.2em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le domaine de définition  de $f$ est \R, donc centré en 0. De plus,
\begin{align*}
f(-x) & = 1+\sin(-x)-\dfrac{1}{2}\cos(-2x)\\
& = 1-\sin(x)-\dfrac{1}{2}\cos(2x)
\end{align*}
car la fonction $\sin$ est impaire (donc $\sin(-x)=-\sin x$) et la fonction $\cos$ est paire (donc $\cos(-2x)=\cos(2x)$).

Ainsi, $f(-x)\neq f(x)$ et $f(-x)\neq-f(x)$; la fonction $f$ n'est donc ni paire, ni impaire.

\item $\begin{aligned}[t]
f(x+2\pi) & = 1+\sin(x+2\pi) - \dfrac{1}{2}\cos\big[2(x+2\pi)\big]\\& = 1+\sin x - \dfrac{1}{2}\cos(2x+4\pi)\\
& = 1 + \sin x - \dfrac{1}{2}\cos(2x)\\
& = f(x).
\end{aligned}$

\uline{Donc $f$ est $2\pi$-périodique.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[1]
On applique une tension sinusoïdale $u$ aux bornes d'un circuit électrique comportant en série une résistance et une diode idéale.

Le temps $t$ est exprimé en seconde.

La tension est donnée par la fonction $u$ définie pour tout réel $t \geqslant0$ par :
\[
u(t)=\sqrt3\sin\left(100\pi t+\dfrac{\pi}{3}\right).
\]
La diode est non passante si $u(t) \leqslant \dfrac{\sqrt3}{2}$ et elle est passante si $u(t)>\dfrac{\sqrt3}{2}$.

\begin{enumerate}
\item La diode est-elle passante à l'instant $t=0$?
\item Calculer $u\left(\frac{1}{100}\right)$. Interpréter le résultat.
\item On admet que $u\left(t+\frac{2}{100}\right)=u(t)$ pour tout $t\geqslant0$. En déduire une propriété de la fonction $u$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $u(0)=\sqrt3\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt3\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3}{2}>\dfrac{\sqrt3}{2}$ donc la diode est passante pour $t=0$.

\item $\begin{aligned}[t]
u\left(\dfrac{1}{100}\right) & = \sqrt3\sin\left(100\pi\times\dfrac{1}{100}+\dfrac{\pi}{3}\right)\\
& = \sqrt3\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)\\
& = -\sqrt3\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
u\left(\dfrac{1}{100}\right)
& = -\sqrt3\times\dfrac{\sqrt3}{2}\\
& = -\dfrac{3}{2}.
\end{aligned}$

La tension est négative, donc la diode n'est pas passante.

\item $u\left(t+\frac{2}{100}\right)=u(t)$ pour tout $t\geqslant0$. Cela signifie que $u$ est périodique, de période $\dfrac{2}{100}$. La tension de la diode sera donc la même à intervalle régulier de $\dfrac{1}{50}$ seconde.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
On considère la fonction $f$ définie sur \R par:
\[
f(x) = 1 + \cos(x) + \sin^2(x).
\]
\begin{enumerate}
\item \'Etudier la parité de $f$.\\
Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $f$?
\item Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique.\\
Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $f$?
\item Justifier que $f(x)=-\cos^2(x)+\cos(x)+2$.
\item Résoudre l'équation $f(x)=0$ sur $]-\pi;\pi]$.
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)\geqslant0$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, $\begin{aligned}[t]
f(-x) & = 1 + \cos(-x) + \big[\sin(-x)\big]^2\\
      & = 1 + \cos(x) + \big[-\sin(x)\big]^2\\
      & = 1 + \cos(x) + \sin^2(x) = f(x).
\end{aligned}[t]$

Par conséquent, $f$ est paire. On peut alors déduire que la courbe représentative de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

\item Pour tout réel $x$,
\[
\cos(x+2\pi)=\cos(x)\qquad\text{et}\qquad\sin(x+2\pi)=\sin(x).
\]
Ainsi,
\begin{align*}
f(x+2\pi) & = 1 + \cos(x+2\pi) + \sin^2(x+2\pi)\\
          & = 1 + \cos(x) + \sin^2(x)\\
          & = f(x).
\end{align*}
Par conséquent, $f$ est bien $2\pi$-périodique.

\medskip

Cela signifie qu'en traçant la représentation graphique de $f$ sur un\linebreak intervalle quelconque d'amplitude $2\pi$, et en en faisant les translations de vecteurs $2k\pi\vec{i}$, $k\in\Z^*$, on obtiendra la courbe représentative de $f$ sur \R.

\item Pour tout réel $x$,
\[
\sin^2(x)=1-\cos^2(x).
\]
Ainsi, pour tout réel $x$,
\begin{align*}
f(x)& = 1 + \cos(x) + \sin^2(x)\\
    & = 1 + \cos(x) + 1-\cos^2(x)\\
    & = -\cos^2(x) + \cos(x) + 2.
\end{align*}

\item D'après la question précédente,
\begin{align*}
f(x) = 0 & \iff -\cos^2(x) + \cos(x) + 2= 0\\
         & \iff -X^2 + X + 2 = 0,\quad\text{en posant }X=\cos(x).
\end{align*}
Une solution évidente est $X_1=-1$; par conséquent, la seconde solution est telle que:
\[
X_1X_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{-1} = -2.
\]
Ainsi, 
\[
-1\times X_2 = -2 \iff X_2 = 2.
\]
On a alors:
\[
\begin{cases}
X_1 = \cos(x_1) = -1\\
X_2 = \cos(x_2) = 2 \longleftarrow \text{ impossible car }-1 \leqslant \cos(x_2) \leqslant1
\end{cases}
\]
On en déduit que sur $]-\pi;\pi]$, les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont les valeurs de $x$ pour lesquelles :
\[
\cos(x) = -1 \iff x = \pi.
\]

\item D'après la question précédente, pour tout réel $X$,
\[
-X^2+X+2 = -(X+1)(X-2).
\]
Ainsi, en prenant $X = \cos(x)$, on a:
\[
f(x)=-\big(\cos( x) + 1\big)\big(\cos( x) - 2 \big).
\]
Or,
\begin{align*}
-1 \leqslant \cos x \leqslant 1 & \iff \begin{cases}
 \cos (x) + 1 \geqslant 0\\
 \cos (x) - 2 \leqslant 0
\end{cases}\\[10pt]
& 
\iff \begin{cases}
 -\big( \cos (x) + 1\big) \leqslant 0\\
 \cos (x) - 2 \leqslant 0
\end{cases}
\end{align*}
Ainsi, $f(x) \geqslant 0$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{QCM}[2]
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur \R par $f(x)=\sin(x)-x$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

\begin{enumerate}
\item $f$ est paire.
\item $f$ est impaire.
\item Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi)=f(x)$.
\item Pour tout réel $x$, $f(x+\pi)=-f(x)$.
\end{enumerate}

\item Dans l'intervalle \intervOF{-\pi}{\pi}, l'équation $2\cos(x)-\sqrt{3}=0$ a pour solutions:
\begin{enumerate}
\item\label{trigoq2aexqcm} $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$.
\item $-\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{4}$.
\item $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$.
\item $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.
\end{enumerate}

\item Le nombre réel $-\dfrac{3\pi}{4}$ est associé au même point du cercle trigonométrique que le réel :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $-\dfrac{14\pi}{4}$.
\item $\dfrac{7\pi}{4}$.
\item\label{trigoq3aexqcm} $\dfrac{13\pi}{4}$.
\item $\dfrac{19\pi}{4}$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le nombre $\dfrac{14\pi}{3}$ a pour image le point:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item\label{trigoq4aexqcm} E
\item F
\item G
\item H
\end{multicols}
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw (0,0) circle(3cm);
\draw (0,-3.5) -- (0,3.5);
\draw (-3.5,0) --(3.5,0);
\fill (60:3) circle (2pt) node[above right] {E};
\fill (120:3) circle (2pt) node[above left] {F};
\fill (-120:3) circle (2pt) node[below left] {G};
\fill (-60:3) circle (2pt) node[below right] {H};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Soit le réel $x$ appartenant à l'intervalle \intervFF{\dfrac{\pi}{2}}{\pi} tel que $\sin x = 0,8$. Alors:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\cos(x)=0,8$.
\item\label{trigoq5bexqcm} $\cos(x)=-0,6$.
\item $\cos(x)=0,2$.
\item $\cos(x)=-0,2$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item On considère dans l'ensemble des réels l'équation trigonométrique $\sin x = 1$.
\begin{enumerate}
\item Cette équation admet une unique solution dans l'ensemble des réels.
\item\label{trigoq6bexqcm} Cette équation admet une infinité de solutions dans l'ensemble des réels.
\item $2\pi$ est une solution de cette équation.
\item $-\dfrac{57\pi}{2}$ est une solution de cette équation.
\end{enumerate}

\item Soit $x$ un nombre réel. On peut affirmer que:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\cos(x)=\sin(x)$.
\item\label{trigoq7bexqcm} $\cos(\pi-x)=\cos(\pi+x)$.
\item $\sin(\pi+x)=\sin(\pi-x)$.
\item $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Les solutions dans l'intervalle \intervFO{0}{2\pi} de l'équation $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ sont:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\dfrac{4\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$.
\item $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$.
\item $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.
\item\label{trigoq8dexqcm} $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Soit $x$ un nombre réel. Le réel $\cos(x+3\pi)$ est égal à :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\cos(x)$.
\item\label{trigoq9dexqcm} $-\cos(x)$.
\item $\sin(x)$.
\item $-\sin(x)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Pour tout nombre réel $x$, $\sin(7\pi-x)$ est égal à:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item\label{trigoq10dexqcm} $\sin(x)$.
\item $-\sin(x)$.
\item $\cos(x)$.
\item $-\cos(x)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item $t$ est un réel. On sait que $\cos(t)=\dfrac{2}{3}$. Alors $\cos(t+4\pi)+\cos(-t)$ est égal à:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $-\dfrac{4}{3}$.
\item 0.
\item\label{trigoq11dexqcm}  $-\dfrac{4}{3}$.
\item $\dfrac{2}{3}$.
\end{multicols}
\end{enumerate} 

\item L'expression de $\sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ est égale à:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $-2\sin(x)$.
\item \label{trigoq12dexqcm}0.
\item $2\sin(x)$.
\item $\cos(x)-\sin(x)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Dans l'intervalle \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}, l'unique solution de l'équation $2\cos(x+\pi)+1=0$ est:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item \label{trigoq13aexqcm}$\dfrac{\pi}{3}$.
\item $-\dfrac{5\pi}{3}$.
\item $\dfrac{\pi}{6}$.
\item $\dfrac{2\pi}{3}$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item $\alpha$ est un nombre réel tel que $\sin(\alpha)=0,5$. On a alors:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item \label{trigoq14aexqcm}$\sin(\pi-\alpha)=0,5$.
\item $\sin(\pi-\alpha)=-0,5$.
\item $\sin(\pi-\alpha)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$.
\item $\sin(\pi-\alpha)=\dfrac{\pi}{6}$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\newpage

\item 
\begin{enumerate}
\item L'équation $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ admet deux solutions dans \intervOF{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}.
\item \label{trigoq15bexqcm}L'équation $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ admet une solution dans \intervFO{0}{\pi}.
\item L'équation $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ admet une solution dans \intervFO{0}{\pi}.
\item L'équation $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ admet deux solutions dans \intervOF{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}.
\end{enumerate}

\item On donne : $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$.

L'affirmation \og $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)<0$ \fg{} est-elle exacte ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur \R par $f(x)=\sin(x)-x$.
\begin{enumerate}
\item $f$ est paire: pour le savoir, il faut avoir l'égalité $f(-x)=f(x)$ pour tout réel $x$ de \R (qui est centré en 0).

On a : $f(-x)=\sin(-x)-(-x)=-\sin(x)+x=-(\sin(x)-x)=-f(x)$.

\underline{$f$ est donc en effet paire.}
\end{enumerate}
Comme il n'y a qu'une bonne solution, on pourrait s'arrêter ici, mais je vais tout de même expliquer pourquoi les autres propositions sont fausses.

\begin{enumerate}[resume]
\item $f$ est impaire: si $f$ est paire, elle ne peut pas être impaire en même temps. Donc cette proposition est fausse.

\item Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi)=f(x)$. On calcule:
\begin{align*}
f(x+2\pi) & = \sin(x+2\pi)-(x+2\pi)\\
& = \sin(x)-x-2\pi \neq f(x).
\end{align*}
Donc cette proposition est fausse.

\item Pour tout réel $x$, $f(x+\pi)=-f(x)$. On calcule:
\begin{align*}
f(x+\pi) & = \sin(x+\pi) - (x+\pi)\\
& = -\sin(x)-x-\pi \neq f(x).
\end{align*}
Donc cette proposition est fausse.
\end{enumerate}

\item Dans l'intervalle \intervOF{-\pi}{\pi}, l'équation $2\cos(x)-\sqrt{3}=0$ a pour solutions...

Ici, il vaut mieux résoudre directement l'équation:
\begin{align*}
2\cos(x)-\sqrt{3}=0 & \iff 2\cos(x)=\sqrt3\\
& \iff \cos(x)=\dfrac{\sqrt3}{2}\\
& \iff \cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\\
& \iff x = \dfrac{\pi}{6}\text{ ou }x=\dfrac{-\pi}{6}.
\end{align*}

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq2aexqcm}

\item Le nombre réel $-\dfrac{3\pi}{4}$ est associé au même point du cercle trigonométrique que le réel...

\[
-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi=-\dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}.
\]

$\dfrac{5\pi}{4}$ ne fait pas partie des propositions donc on ajoute encore $2\pi$:

\[
\dfrac{5\pi}{4}+2\pi=\dfrac{5\pi}{4}+\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{13\pi}{4}.
\]
La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq3aexqcm}

\item Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le nombre $\dfrac{14\pi}{3}$ a pour image le point...

\[
\dfrac{14\pi}{3}=\dfrac{12\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=4\pi+\dfrac{\pi}{3}.
\]
Donc $\dfrac{14\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ correspondent au même point sur le cercle trigonométrique, à savoir E.

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq4aexqcm}

\item Soit le réel $x$ appartenant à l'intervalle \intervFF{\dfrac{\pi}{2}}{\pi} tel que $\sin x = 0,8$. Alors...

On sait que $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ pour tout nombre réel $x$.

Donc, $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)=1-0,8^2 = 0,36$. Ainsi, $\cos(x)=-\sqrt{0,36}=-0,6$ ou\linebreak $\cos(x)=\sqrt{0,36}=0,6$.

Or, $x\in\intervFF{\dfrac{\pi}{2}}{\pi}$ donc $\cos(x)<0$. Donc $\cos(x)=-0,6$.

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq5bexqcm}

\item On considère dans l'ensemble des réels l'équation trigonométrique $\sin x = 1$.
\begin{enumerate}
\item Cette équation admet une unique solution dans l'ensemble des réels: faux car il existe plusieurs valeurs de $x$ pour lesquelles $\sin x=1$; par exemple $x=\dfrac{\pi}{2}$ ou $x=\dfrac{5\pi}{2}$.

\item Cette équation admet une infinité de solutions dans l'ensemble des réels: vraie. Toutes les valeurs de $x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\Z$, sont solutions car elles correspondent toutes au point situé à $\dfrac{\pi}{2}$.

\item $2\pi$ est une solution de cette équation: certainement pas car $\sin(2\pi)=\sin(0)=0$.

\item $-\dfrac{57\pi}{2}$ est une solution de cette équation: faux. En effet,
\[
57 = 28\times2+1
\]
donc:
\[
-\dfrac{57\pi}{2}=-\dfrac{(28\times2+1)\pi}{2}=-28\pi-\dfrac{\pi}{2}
\]
ce qui signifie que $-\dfrac{57\pi}{2}$ correspond au même point que $-\dfrac{\pi}{2}$. Donc son sinus vaut $-1$ et non 1.
\end{enumerate}

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq6bexqcm}

\item Soit $x$ un nombre réel. On peut affirmer que:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\cos(x)=\sin(x)$.
\item $\cos(\pi-x)=\cos(\pi+x)$.
\item $\sin(\pi+x)=\sin(\pi-x)$.
\item $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$.
\end{multicols}

Réponse \ref{trigoq7bexqcm} C'est une question de cours.
\end{enumerate}

\item Les solutions dans l'intervalle \intervFO{0}{2\pi} de l'équation $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ sont:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\dfrac{4\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$.
\item $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$.
\item $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.
\item $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$.
\end{multicols}

Réponse \ref{trigoq8dexqcm} C'est du cours
\end{enumerate}

\item Soit $x$ un nombre réel. Le réel $\cos(x+3\pi)$ est égal à :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\cos(x)$.
\item $-\cos(x)$.
\item $\sin(x)$.
\item $-\sin(x)$.
\end{multicols}

Réponse \ref{trigoq9dexqcm} En effet, $\cos(x+3\pi)=\cos(x+\pi+2\pi)=\cos(x+\pi)=-\cos(x)$.
\end{enumerate}

\item  Pour tout nombre réel $x$, $\sin(7\pi-x)$ est égal à:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
\item $\sin(x)$.
\item $-\sin(x)$.
\item $\cos(x)$.
\item $-\cos(x)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

Réponse \ref{trigoq10dexqcm} En effet, $\sin(7\pi-x)=\sin(\pi-x)=\sin(x)$.

\item $t$ est un réel. On sait que $\cos(t)=\dfrac{2}{3}$. Alors $\cos(t+4\pi)+\cos(-t)$ est égal à:
\begin{align*}
\cos(t+4\pi)+\cos(-t) & = \cos(t) + \cos(t)\\
& = 2\cos(t)\\
& = 2\times\dfrac{2}{3}\\
& = \dfrac{4}{3}.
\end{align*}

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq11dexqcm}

\item L'expression de $\sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ est égale à:
\begin{align*}
\sin(\pi-x)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) & = \sin(x)-\sin(x)\\
& = 0.
\end{align*}

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq12dexqcm}

\item Dans l'intervalle \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}, l'unique solution de l'équation $2\cos(x+\pi)+1=0$ est:
\begin{align*}
2\cos(x+\pi)+1=0 & \iff 2\cos(x+\pi) = -1\\
& \iff \cos(x+\pi)=-\dfrac{1}{2}\\
& \iff -\cos(x)=-\dfrac{1}{2}\\
& \iff \cos(x)=\dfrac{1}{2}\\
& \iff x = \dfrac{\pi}{3}.
\end{align*}

La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq13aexqcm}

\item $\alpha$ est un nombre réel tel que $\sin(\alpha)=0,5$. On a alors:
\[
\sin(\pi-\alpha)=\sin(\alpha)=0,5.
\]
La proposition correcte est donc la proposition \ref{trigoq14aexqcm}

\item Réponse \ref{trigoq15bexqcm} L'équation $\cos x=-\dfrac{1}{2}$ admet une solution dans \intervFO{0}{\pi} qui est $x=\dfrac{2\pi}{3}$.

\item On donne : $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$.

L'affirmation \og $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)<0$ \fg{} est-elle exacte ?

\bigskip

$\dfrac{2\pi}{5}\in\intervFF{0}{\pi}$ car $0<\dfrac{2}{5}<1$, donc peu importe la valeur de son cosinus, son sinus sera nécessairement positif.

L'affirmation est donc fausse.
\end{enumerate}
\end{exocor}


\subsection*{Exercices du type bac international}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
On a représenté ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $f(x)=a\sin(bx)+c$ sur \intervFF{-360}{\numprint{1080}}.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzInit[xmin=-360,xmax=1080,ymin=-2,ymax=6,xstep=90]
\tkzGrid
\tkzDrawX[label={$x$ (\textit{degrés})},below= -18pt]
\tkzLabelX
\tkzDrawY[label={$y$}]
\tkzLabelY
\tkzFct[domain=-360:1080,color=numpageenonce]{3*sin(3.14159*\x/360)+2}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement la période de $f$.
\end{enumerate}

Un livre de Sciences Physiques donne les informations suivantes:
\begin{center}
Une fonction $x \mapsto A\sin(\omega x)$ admet pour période : $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$.

$A$ est son \textit{amplitude}, avec $A = \dfrac{1}{2}(y_\text{max} - y_\text{min})$.
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer la valeur de $a$, $b$ et $c$.
\item La courbe coupe l'axe des abscisses en un point $P$ dont l'abscisse est comprise entre $-180$ et 0.

Déterminer une valeur approchée de cette abscisse.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La période $T$ peut être trouvée en regardant la différence des abscisses de deux points de même ordonnée, comme par exemple les sommets de la courbe:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzInit[xmin=-360,xmax=1080,ymin=-2,ymax=6,xstep=90]
\tkzGrid
\tkzDrawX[label={$x$ (\textit{degrés})},below= -18pt]
\tkzLabelX
\tkzDrawY[label={$y$}]
\tkzLabelY
\tkzFct[domain=-360:1080,color=numpagecorrige]{3*sin(3.14159*\x/360)+2}
\draw[<->,>=latex,red,thick] (2,5) -- (10,5) node[midway,above] {$T$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
On trouve alors ici:
\[
T = 900-180 = 720.
\]

\item $\begin{aligned}[t]
T & = \frac{2\pi}{\omega}\\
\iff 720 & = \frac{2\pi}{b}\\
\iff b & = \frac{2\pi}{720}\\
\iff b & = \frac{\pi}{360}.
\end{aligned}$

\medskip

Nous avons donc à ce stade:
\[
f(x) = a \sin\left( \frac{\pi}{360}x \right) + c.
\]

L'amplitude de $f$ est:
\[
a = \frac{1}{2}\big(5 - (-1) \big) = 3.
\]
Nous avons alors maintenant:
\[
f(x) = 3 \sin\left( \frac{\pi}{360}x \right) + c.
\]
Par lecture graphique, on a : 
$\begin{aligned}[t]
f(0)=2 & \iff 3\sin(0)+c=2\\
& \iff c=2 \text{ (car $\sin(0)=0$})
\end{aligned}$

\medskip

Finalement, on a:
\[
\boxed{f(x) = 3 \sin\left( \frac{\pi}{360}x \right) + 2}
\]

\item Nous cherchons à résoudre sur \intervFF{--180}{0} l'équation:
\begin{align*}
f(x)=0 & \iff  3 \sin\left( \frac{\pi}{360}x \right) + 2 = 0\\
       & \iff  3 \sin\left( \frac{\pi}{360}x \right) = -2\\
       & \iff    \sin\left( \frac{\pi}{360}x \right) = - \frac{2}{3}\\
       & \iff \frac{\pi}{360}x = \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)
       \intertext{Attention: l'arc sinus est toujours expprimé en radians}   \\
       & \iff x = \frac{360}{\pi}\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)\\
       & \iff x \approx -84^\circ.
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{hauteur de marée}[2]
La hauteur de l'eau, en mètres, dans le port de Dungeness (Angleterre) est modélisée par la fonction:
\[
H(t) = a\sin\big[b(t-c)\big] + d
\]
où $t$ est le nombre d'heures après minuit, et $a$, $b$, $c$, $d$ sont quatre nombres réels, $a>0$, $b>0$, $c>0$.

\medskip

La représentation graphique page suivante montre cette hauteur sur une période de 13 heures, débutant à minuit. 

La première marée haute survient à 4h30 et la suivante, 12 heures plus tard.

Au cours de la journée, la hauteur de l'eau fluctue entre 2,2 mètres et 6,8 mètres.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzInit[xmin=-1,xmax=13,ymin=-1,ymax=7]
\tkzGrid
\tkzDrawX[label={$t$ (heures)},below= -18pt]
\tkzLabelX
\tkzDrawY[label={$y$ (mètres)}]
\tkzLabelY
\tkzFct[domain=0:13,color=numpageenonce]{2.3*sin(3.14159*(\x-1.5)/6)+4.5}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Un livre de Sciences Physiques donne les informations suivantes:
\begin{center}
Une fonction $x \mapsto A\sin(\omega x)$ admet pour période : $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$.

$A$ est son \textit{amplitude}, avec $A = \dfrac{1}{2}(y_\text{max} - y_\text{min})$.
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Trouver la valeur de $b$.
\item Trouver la valeur de $a$.
\item Trouver la valeur de $d$.
\item Trouver la plus petite valeur possible de $c$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item D'après les données, la période de la fonction est $T=12$ (heures). Donc:
\[
12 = \frac{2\pi}{b} \iff b = \frac{2\pi}{12}=\boxed{\frac{\pi}{6}=b}.
\]

\item Toujours d'après les données, l'amplitude de la fonction est:
\[
a = 6,8-2,2=4,4.
\]

\item Pour trouver la valeur de $d$, on raisonne ainsi: 
\begin{align*}
f(t) \leqslant 6,8 & \iff 2,3\sin(T) + d \leqslant6,8\\
& \iff \sin(T) \leqslant \dfrac{6,8-d}{2,3} = 1\\
& \iff d = 4,5.
\end{align*}	
En effet, la valeur maximale d'un sinus est 1.

\item On a:
\begin{align*}
H(4,5) = 6,8 & \iff 2,3\sin\left[ \frac{\pi}{6}(4,5-c) \right] + 4,5 = 6,8\\
& \iff \sin\left[ \frac{\pi}{6}(4,5-c) \right] = 1\\
& \iff \frac{\pi}{6}(4,5-c) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\ k\in\Z\\
& \iff 4,5-c = 3 + 12k\\
& \iff c = 1,5\text{ (plus petite valeur positive)}
\end{align*} 

Finalement, $H(t) = 2,3\sin\left[ \frac{\pi}{6}(t-1,5) \right] + 4,5$.
\end{enumerate}
\end{exocor}


\corriges
