\chapter{Variables aléatoires}

\newpage

\section{Introduction}

\subsection{Une expérience aléatoire}

Considérons une expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dés cubiques non pipés (non truqués) et regardons la somme des faces obtenues. Voici les différentes possibilités que nous avons :
\arrayrulecolor{titrecolor}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill = white, inner sep=  0pt, outer sep=0pt] (tab) {
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash\columncolor{titrecolor}\color{white}}m{21mm}|*6{Sc|}}
\hline\rowcolor{titrecolor}
\diagbox[width=25mm,height=9mm]{Dé 1}{Dé 2} &\color{white} 1 &\color{white} 2 &\color{white} 3 &\color{white} 4 &\color{white} 5 &\color{white} 6\\\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\\hline
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\\hline
3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\\hline
4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\\hline
5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\\hline
6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\\hline
\end{tabular}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Notons S la somme des deux dés. Alors, les valeurs possibles de S sont dans l'ensemble :
\[
\{2~;3~;4~;5~;6~;7~;8~;9~;10~;11~;12\}.
\]
On dit ici que S est une \textit{variable aléatoire} car sa valeur varie (d'où le mot \og variable \fg) et ce, de façon aléatoire (car sa valeur dépend des issues obtenues dans l'expérience aléatoire).

Par abus de langage, et pour simplifier la notion, on écrira :
\[
S = \{2~;3~;4~;5~;6~;7~;8~;9~;10~;11~;12\}.
\]

\subsection{Définition}

\begin{defin}
Soit $\cal E$ une expérience aléatoire dont les issues possibles sont des nombres (lancers de dés, nombres de stylos dans une trousse,...).

\medskip

On appelle \textbf{variable aléatoire} l'ensemble des valeurs que peuvent prendre les issues de $\cal E$.
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item L'univers étant une classe donnée, l'expérience consiste à regarder le nombre de stylos dans une trousse d'un élève. On constate que le nombre de stylos varie entre 5 et 10. Alors, la variable aléatoire représentant ce nombre est :
\[ X = \{5;6;7;8;9;10\}.\]

\item L'univers étant un lycée donné, l'expérience consiste à regarder   dans chaque classe le nombre d'élèves  mesurant plus de 2 mètres. On constate que ce nombre varie entre 0 et 5. Alors, la variable aléatoire représentant le nombre d'élèves de ce lycée mesurant plus de 2 mètres est :
\[ X=\{0;1;2;3;4;5\} \]
\end{enumerate}
\end{exemple}

\subsection{Définition plus théorique}


\begin{defin}
Soit $\Omega$ un univers probabilisé et $\cal E$ une expérience aléatoire dans $\Omega$.

Une \textbf{variable aléatoire} X est une application qui, à chaque événement élémentaire de $\Omega$, associe un nombre réel. Autrement dit,
\[
X\;:\; \Omega \rightarrow \R.
\]
L'ensemble des valeurs prises par X est noté $X(\Omega)$. 
\end{defin}

\begin{rem}
\begin{itemize}
\item En théorie, $X(\Omega)$ est un ensemble pouvant être infini. Cependant, au lycée, on se limite au cas où il est fini.

\item De plus, par soucis de simplification, on notera plutôt X l'ensemble $X(\Omega)$, quitte à installer une ambiguïté entre la fonction et l'ensemble des valeurs prises par cette fonction.

\item Il existe deux types de variables aléatoires réelles : discrètes et continues. En 1\iere{}, on ne rencontrera que des variables aléatoires discrètes, c'est-à-dire où les valeurs prises sont dénombrables (des valeurs que l'on peut compter une à une).
\end{itemize}
\end{rem}

\section{Loi de probabilité}

\subsection{Définition}

\begin{defin}
Soit X une variable aléatoire discrète. 

La \textbf{loi de probabilité} de X est la donnée de la probabilité de toutes les valeurs que peut prendre X. 

En général, elle est donnée sous forme de tableau.
\end{defin}

\begin{exemple}
Reprenons l'exemple du lancer de deux dés cubiques non pipés, où S est la variable aléatoire représentant la somme obtenue.

D'après le tableau obtenu précédemment, on peut écrire :

\begin{center}
\arrayrulecolor{exemple}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{exemple}\color{white}}Sr|*{11}{Sc|}}
\hline
$s_i$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\
\hline
$P(S=s_i)$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{1}{18}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{9}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{1}{9}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{18}$ & $\dfrac{1}{36}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Par exemple, sur les 36 issues possibles , seule une donne la somme \og 2 \fg. Donc  la probabilité d'obtenir une somme égale à 2, que l'on note $\proba{S=2}$, est égale à $\dfrac{1}{36}$.
\end{exemple}

\subsection{Espérance d'une variable aléatoire}

\begin{defin}
Soit $X=\big\{x_i\big\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ une variable aléatoire discrète.

On appelle \textbf{espérance mathématique} de X le nombre défini par :
\[
\esp X=\sum_{i=1}^n x_i\times \probavar{X}{x_i}\;.
\]
\end{defin}

\begin{rem}
Le calcul de l'espérance mathématique ressemble à celui de la moyenne d'une série statistique.

L'espérance peut alors être considérée comme la \og valeur moyenne \fg{} de la variable aléatoire si on répète l'expérience un grand nombre de fois.
\end{rem}

\begin{exemple}
Reprenons l'exemple précédent. Alors,
\begin{align*}
\esp S & = 2\times\dfrac{1}{36}+3\times\dfrac{1}{18}+4\times\dfrac{1}{12}+\cdots+11\times\dfrac{1}{18}+12\times\dfrac{1}{36}\\[8pt]
\Aboxed{\esp S & = 7}
\end{align*}
Cela signifie que sur un grand nombre de lancers, on peut espérer obtenir en moyenne une somme égale à 7.
\end{exemple}

\begin{prop}[linéarité de l'espérance]
Soit X une variable aléatoire discrète. Soient $a$ et $b$ deux réels. Alors,
\[
\esp{$a$X+$b$}=a\esp X + b\;.
\]
\end{prop}
\enlargethispage*{2\baselineskip}
\begin{demo}
Par définition, $a\text{X}+b=\big\{ ax_i+b \big\}_{1\leqslant i\leqslant n}$. Alors,
\begin{align*}
\esp{$a$X+$b$} & = \sum_{i=1}^n \big(ax_i+b\big)\times\probavar{\textit{a}X+\textit{b}}{ax_i+b}\\
&= \sum_{i=1}^n \big(ax_i+b\big)\times\probavar{X}{x_i}\\
& = \sum_{i=1}^n ax_i\times \probavar{X}{x_i} + \sum_{i=1}^n b\probavar{X}{x_i}\\
& = a\underbrace{\sum_{i=1}^n x_i\times \probavar{X}{x_i}}_{=\esp X} + b\underbrace{\sum_{i=1}^n \probavar{X}{x_i}}_{=1}\\
& = a\esp X+b\;.
\end{align*}
\end{demo}

\subsection{Variance et écart-type d'une variable aléatoire}

\subsubsection{Définitions}

\begin{defin}
Soit $\text{X}=\big\{x_i\big\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ une variable aléatoire discrète.
\begin{itemize}
\item On appelle \textbf{variance mathématique} de X le nombre défini par :
\[
\var X=\esp{\big(X$-$\esp X\big)$^2$}=\sum_{i=1}^n \big[ x_i - \esp X \big]^2\times \probavar{X}{x_i}\;.
\]
\item On appelle \textbf{écart-type} de X le nombre défini par :
\[
\ectype X=\sqrt{\var X}\;.
\]
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{exemple}
Reprenons l'exemple précédent. Ajoutons une ligne à la loi de probabilité de S :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{exemple}\color{white}}Sr|*{11}{Sc|}}
\hline
$S=s_i$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\
\hline\rowcolor{exemple!50}
$S-\esp{S}$ & $-5$ & $-4$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
$P(S=s_i)$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{1}{18}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{9}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{1}{9}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{18}$ & $\dfrac{1}{36}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{align*}
\var{S} & = (-5)^2\times\dfrac{1}{36} + (-4)^2\times\dfrac{1}{18} + (-3)^2\times\dfrac{1}{2} + \cdots + 5^2\times\dfrac{1}{36}\\
& = \dfrac{35}{6}\\
& \approx 5,83
\end{align*}
et donc :
\[
\sigma(S)=\sqrt{\dfrac{35}{6}}\approx2,4.
\]
\end{exemple}

\subsubsection{Interprétation}

Dans la formule $\var X=\esp{\big(X$-$\esp X\big)$^2$}$, si on élève au carré la variable $X-\esp{X}$, c'est pour manipuler une variable positive. Cette nouvelle variable représente alors le carré de la différence entre X et son espérance. 

Ainsi, la variable est l'espérance de ce carré; on peut donc l'interpréter comme la moyenne des carrés des différences entre X et $\esp{X}$.

En prenant la racine carrée de la variance pour calculer l'écart-type, on se ramène à la moyenne des différences (en valeur absolue). Ainsi, l'écart-type représente l'écart moyen de chaque valeur de X à son espérance. 

\medskip

En obtenant $\esp{S}=7$ et $\sigma(S)\approx2,4$, on peut conclure que sur un grand nombre de lancers, on peut espérer en moyenne avoir une somme égale à 7 plus ou moins 2,4, soit une somme comprise entre 4,6 et 9,4.

\subsubsection{Théorème de König-Huygens}

\begin{thm}[de König-Huygens]
Soit $\text{X}=\big\{x_i\big\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ une variable aléatoire discrète. Alors,
\[ 
\var X = \esp{X$^2$}-\big[\esp X\big]^2\;.
\]
\end{thm}

\begin{demo}
\begin{align*}
\var X & = \esp{\big(X$-$\esp X\big)$^2$}\quad\text{(par définition)}\\
& = \esp{X$^2$}-\esp{2X\esp X}+\esp{\big(\esp X\big)$^2$}\\
& = \esp{X$^2$}-2\big[\esp X\big]^2+\big[\esp X\big]^2\\
& = \esp{X$^2$}-\big[\esp X\big]^2\;.
\end{align*}
\end{demo}

\begin{rem}
Dans la pratique, ce théorème nous permet de calculer la variance de façon peut-être plus simple dans certains cas.
\end{rem}


\begin{exemple}
Reprenons l'exemple du lancer de deux dés cubiques non pipés.

Ajoutons une ligne à la loi de probabilité de S :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{exemple}\color{white}}Sr|*{11}{Sc|}}
\hline
$S=s_i$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\
\hline\rowcolor{exemple!50}
$S^2=s_i^2$ & 4&9&16&25&36&49&64&81&100&121&144\\
\hline
$P(S=s_i)$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{1}{18}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{9}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{1}{9}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{18}$ & $\dfrac{1}{36}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{align*}
\esp{S$^2$} & = 4\times\dfrac{1}{36} + 9\times\dfrac{1}{18} + 16\times\dfrac{1}{2} + \cdots + 144\times\dfrac{1}{36}\\
& = \dfrac{329}{6}.
\end{align*}
Ainsi, d'après le théorème de König-Huygens,
\begin{align*}
\var{S} & = \dfrac{329}{6}-7^2\\
& =\dfrac{35}{6}\\
& \approx 5,83
\end{align*}
et donc :
\[
\sigma(S)=\sqrt{\dfrac{35}{6}}\approx 2,4.
\]
\end{exemple}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exercices 

%%%

\begin{exocor}{dés cubique et tétraédrique}[1]
On dispose d'un dé cubique, dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et d'un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). Ces dés sont parfaitement équilibrés.

On lance ces deux dés et on s'intéresse à la somme des deux chiffres obtenus.

Soit X la variable aléatoire représentant l'ensemble des sommes possibles.

\begin{enumerate}
\item Donner la loi de probabilité de X.
\item Calculer l'espérance mathématique de X.
\item Calculer l'écart-type de X.
\end{enumerate}
\vspace*{-0.5em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'ensemble des sommes possibles est donné par le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}}c|*6{c|}}
\hline\rowcolor{numpagecorrige!10}
\diagbox{Dé 2}{Dé 1} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
\hline
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
\hline
3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
\hline
4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On a alors :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries}Sr|*9{Sc|}}
\hline\rowcolor{numpagecorrige!10}
X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
\hline
P(X) & $\dfrac{1}{24}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{8}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{8}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{24}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
\esp{X} & = 2\times\dfrac{1}{24}+3\times\dfrac{1}{12}+\cdots+10\times\dfrac{1}{24}\\
\Aboxed{\esp{X} & = 6}
\end{aligned}$

\item La variance de X est : $\var{X}=\dfrac{25}{6}$ donc son écart-type est $\ectype{X}=\dfrac{5}{\sqrt{6}}\approx2$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{pièce de monnaie}[1]
On jette trois fois de suite une pièce de monnaie.

\begin{enumerate}
\item Si on obtient trois fois \og pile \fg{} ou trois fois \og face \fg, on gagne 100 \euro. Sinon, on perd 10~\euro{} (ce qui correspond à un gain de $-10$ \euro).

Déterminer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire représentant le gain algébrique de ce jeu.

\item On ajoute 5 \euro{} aux gains. Quelle est alors l'espérance et quel est l'écart-type de la nouvelle variable aléatoire représentant le gain algébrique du jeu ?

\item On multiplie par 2 les gains du jeu initial. Calculer alors l'espérance et l'écart-type de la nouvelle variable aléatoire représentant le gain algébrique du jeu.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de la v.a. X représentant le gain algébrique du jeu est :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries}Sr|Sc|Sc|}
\hline
X & $-10$ & 100\\
\hline
P(X) & $\dfrac{3}{4}$ & $2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{4}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

L'espérance de X est donc :
\[
\esp{X}=-10\times\dfrac{3}{4}+100\times\dfrac{1}{4}=17,5.
\]
Sa variance est :
\[
\var{X}=\dfrac{3}{4}(-10-17,5)^2+\dfrac{1}{4}(100-17,5)^2=\numprint{2268,75}
\]
Son écart-type est alors :
\[
\ectype{X}=\sqrt{\numprint{2268,75}}\approx47,63.
\]

\item On sait que $\esp{X+a}=\esp{X}+a$ donc ici, $\esp{X'}=17,5+5=22,5$.

De plus, $\var{X+a}=\var{X}$ et $\ectype{X+a}=\ectype{X}$ donc la variance et l'écart-type ne changent pas.

\item $\esp{aX}=a\esp{X}$ donc ici, $\esp{X''}=2\times17,5=35$.

De plus, $\ectype{aX}=a\ectype{X}$ donc $\ectype{X''}=2\times47,63=95,26$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{trois pièces de monnaie}[1]
On lance 3 pièces bien équilibrées valant respectivement 1~\euro, 2~\euro{} et 2~\euro.

On veut étudier la variable aléatoire X qui totalise le montant en euros des pièces tombées sur \og Pile \fg.

\begin{enumerate}
\item Représenter l'expérience par un arbre pondéré.
\item Quelles sont les différentes valeurs possibles pour X ?

Donner la loi de probabilité de X.
\item Quelle est la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 3~\euro{} ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'arbre est le suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (O) at (0,0) {$\Omega$};
\node (P1) at (2,2) {P (1 \euro)};
\node (F1) at (2,-2) {F (0 \euro)};
%
\node (P1P2) at (5,3) {P (2 \euro)};
\node (P1F2) at (5,1) {F (0 \euro)};
\node (F1P2) at (5,-1) {P (2 \euro)};
\node (F1F2) at (5,-3) {F (0 \euro)};
%
\node (P1P2P3) at (8,3.5) {P (2 \euro)};
\node (P1P2F3) at (8,2.5) {F (0 \euro)};
\node (P1F2P3) at (8,1.5) {P (2 \euro)};
\node (P1F2F3) at (8,0.5) {F (0 \euro)};
\node (F1P2P3) at (8,-.5) {P (2 \euro)};
\node (F1P2F3) at (8,-1.5) {F (0 \euro)};
\node (F1F2P3) at (8,-2.5) {P (2 \euro)};
\node (F1F2F3) at (8,-3.5) {F (0 \euro)};
%
\draw (O.east) -- (P1.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{2}$};
\draw (O.east) -- (F1.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{2}$};
\draw (P1.east) -- (P1P2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{2}$};
\draw (P1.east) -- (P1F2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{2}$};
\draw (F1.east) -- (F1P2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{2}$};
\draw (F1.east) -- (F1F2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{2}$};
\draw (P1P2.east) -- (P1P2P3.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.6] {$\frac{1}{2}$};
\draw (P1P2.east) -- (P1P2F3.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.6] {$\frac{1}{2}$};
\draw (P1F2.east) -- (P1F2P3.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.6] {$\frac{1}{2}$};
\draw (P1F2.east) -- (P1F2F3.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.6] {$\frac{1}{2}$};
\draw (F1P2.east) -- (F1P2P3.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.6] {$\frac{1}{2}$};
\draw (F1P2.east) -- (F1P2F3.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.6] {$\frac{1}{2}$};
\draw (F1F2.east) -- (F1F2P3.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.6] {$\frac{1}{2}$};
\draw (F1F2.east) -- (F1F2F3.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.6] {$\frac{1}{2}$};
% 
\draw[->,>=latex] (P1P2P3.east) -- ($(P1P2P3.east)+(1,0)$) node[right] {$\text{X}=1+2+2=5$};
\draw[->,>=latex] (P1P2F3.east) -- ($(P1P2F3.east)+(1,0)$) node[right] {$\text{X}=1+2+0=3$};
\draw[->,>=latex] (P1F2P3.east) -- ($(P1F2P3.east)+(1,0)$) node[right] {$\text{X}=1+0+2=3$};
\draw[->,>=latex] (P1F2F3.east) -- ($(P1F2F3.east)+(1,0)$) node[right] {$\text{X}=1+0+0=1$};
\draw[->,>=latex] (F1P2P3.east) -- ($(F1P2P3.east)+(1,0)$) node[right] {$\text{X}=0+2+2=4$};
\draw[->,>=latex] (F1P2F3.east) -- ($(F1P2F3.east)+(1,0)$) node[right] {$\text{X}=0+2+0=2$};
\draw[->,>=latex] (F1F2P3.east) -- ($(F1F2P3.east)+(1,0)$) node[right] {$\text{X}=0+0+2=2$};
\draw[->,>=latex] (F1F2F3.east) -- ($(F1F2F3.east)+(1,0)$) node[right] {$\text{X}=0+0+0=0$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On a : $\text{X}=\{0\,;1\,;2\,;3\,;4\,;5\}$ d'après l'arbre précédent, d'où la loi de probabilité suivante :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries\arraybackslash}Sr|*6{Sc|}}
\hline
$x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
P(X$=x_i$) & $\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$ & $\dfrac{1}{8}$ & $2\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{1}{8}$ & $\dfrac{1}{8}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $\probavar[\geqslant]{X}{3}=\probavar{X}{3}+\probavar{X}{4}+\probavar{X}{5}=\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\newpage

\begin{exocor}{mise de départ et jeu équitable}[1]
Pour une mise de 0,50 \euro, on lance un dé cubique équilibré. Tout résultat pair fait gagner le nombre d'euros indiqué sur le dé et tout résultat impair fait perdre le nombre d'euros indiqué sur le dé. Par exemple, obtenir 2 permet de gagner 2 \euro{} mais obtenir 3 fait perdre 3~\euro.

On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique (en tenant compte de la mise).

\begin{enumerate}
\item \'Etablir la loi de probabilité de X.
\item Le jeu est-il équitable ? Justifier.
\end{enumerate} 

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de X est :
%\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries\arraybackslash}Sr|*6{Sc|}}
\hline
$X=x_i$ & $-1,5$ & $1,5$ & $-3,5$ & $3,5$ & $-5,5$ & $5,5$ \\
\hline
\probavar{X}{x_i} & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$\\
\hline
\end{tabular}
%\end{center}
\item Le jeu est équitable si l'espérance mathématique de X est nulle.
\begin{align*}
\esp{X} & = (-1,5+1,5-3,5+3,5-5,5+5,5)\times\dfrac{1}{6}\\
& = 0.
\end{align*}
Le jeu est donc équitable.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{lois de probabilités}[1]
Voici trois lois de probabilité ainsi que trois couples \coord{\text{espérance}}{\text{écart-type}}.

\medskip\arrayrulecolor{numpageenonce}

\begin{multicols}{2}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce}\color{white}\bfseries}Sr|*2{Sc|}}
\hline
X & 8 & 14\\
\hline
P(X) & $\dfrac{2}{3}$ & $\dfrac{1}{3}$\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce}\color{white}\bfseries}Sr|*2{Sc|}}
\hline
Y & 8 & 12\\
\hline
P(X) & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{3}{4}$\\
\hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce}\color{white}\bfseries}Sr|*3{Sc|}}
\hline
Z & 4 & 10 & 16\\
\hline
P(X) & $\dfrac{1}{100}$ & $\dfrac{98}{100}$ & $\dfrac{1}{100}$\\
\hline
\end{tabular}

\columnbreak

couple 1 : \coord{11}{1,73}

\bigskip

couple 2 : \coord{10}{0,82}

\bigskip

couple 3 : \coord{10}{2,83}
\end{multicols}

\medskip

Sans effectuer de calculs, associer chaque couple à sa variable aléatoire.

\tcblower

\begin{itemize}
\item Le couple 2 correspond à la variable Z. En effet, $\dfrac{98}{100}=0,98$ est très fort par rapport aux autres probabilités. Ainsi, l'espérance est très proche de 10 et l'écart-type est certainement très faible. Donc des couples 2 et 3, on choisit le 2.

\item Le couple 1 correspond à Y. En effet, $\dfrac{3}{4}$ est plus grand que $\dfrac{1}{4}$, donc l'espérance va plus se rapprocher de 12 que de 8. Elle ne peut donc pas être égale à 10 (qui est le centre de \intervFF{8}{12}).

\item Il nous reste le couple 3 pour X.
\end{itemize}
À l'aide du programme de l'exercice \ref{exercice:\thechapter.14}, on vérifie rapidement que c'est exact.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{jeu de cartes et gain}[1]
Un jeu consiste à tirer au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. 
\begin{itemize}
\item Si c'est un 7, 8, 9 ou 10, on perd 30 \euro.
\item Si c'est une figure (valet, dame ou roi), on gagne 10 \euro.
\item Si c'est un as, on gagne 10 \euro.
\end{itemize}

On note X la variable aléatoire représentant le gain (en euros) à l'issue du jeu.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de X.
\item Calculer son espérance mathématique.

À qui ce jeu est-il favorable ? Justifier.
\item Quel devrait être le gain pour un As afin que le jeu soit équitable ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries\arraybackslash}Sr|*3{Sc|}}
\hline
X & $-30$ & 10 & 20\\
\hline
\probavar{X}{x_i} & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{3}{8}$ & $\dfrac{1}{8}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On trouve $\esp{X}=-8,75$ et $\sigma(X)\approx21,5$.

Autrement dit, si on joue à ce jeu un grand nombre de fois, on peut espérer perdre en moyenne $8,75$ \euro{} avec un écart moyen de 21,5 \euro.

\medskip

Ce jeu est donc défavorable aux joueurs.

\item Notons $x$ le gain lorsque le joueur tire un As. 

L'espérance est maintenant :
\begin{align*}
\esp{X} & =-15+\dfrac{30}{8}+\dfrac{x}{8}\\
& =\dfrac{x-90}{8}.
\end{align*}
Pour que le jeu soit équitable, il faut que $\esp{X}=0$, soit $x=90$.

\medskip

\underline{Il faudrait donc gagner 90 \euro{} quand on tire un As.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{fête foraine}[1]
Dans une fête foraine, pour une mise initiale de 3 \euro, le joueur est invité à lancer deux dés équilibrés à six faces numérotées de 1 à 6.
\begin{itemize}
\item Si le résultat est un \og double \fg, le joueur empoche le montant en euros égal à la somme des points obtenus.
\item Si un seul 6 apparaît, le joueur gagne le montant en euros indiqué sur l'autre dé.
\item Dans les autres cas, la partie est perdue.
\end{itemize}
On désigne par G la variable aléatoire définie par le \og gain \fg{} du joueur (gain qui peut être négatif).
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de G.
\item Calculer l'espérance mathématique de G. Le jeu est-il équitable ?

\item Calculer l'écart-type de G. Interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de G est :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries\arraybackslash}Sr|*{10}{Sc|}}
\hline
$G=g_i$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & 0 & $1$ & 2 & $3$ & $5$ & $7$ & $9$ \\
\hline
\probavar{G}{g_i} & $\dfrac{24}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ &$\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
\esp{G} & = -3\times\dfrac{24}{36}-2\times\dfrac{1}{36}+\cdots+9\times\dfrac{1}{36}\\
& \approx-1,25.
\end{aligned}$

L'espérance étant non nulle, le jeu n'est pas équitable.

\item $\sigma(G)\approx3,1$. Ainsi, sur un grand nombre de parties, le gain moyen par partie varie entre $-1,25-3,1=-4,35$ \euro{} et $-1,25+3,1=1,85$ \euro.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{jeu avec mise}[1]
On propose le jeu suivant : un joueur mise 3 \euro{} puis tire un ticket dans une urne qui contient \pourcent{5} de tickets portant le numéro 15, \pourcent{10} de tickets portant le numéro 10, \pourcent{20} de tickets portant le numéro 5 et le reste portant la mention « perdu ».
\begin{itemize}
\item Si le ticket porte le numéro 15, il gagne 15 \euro.
\item Si le ticket porte le numéro 10, il gagne 10 \euro.
\item Si le ticket porte le numéro 5, il gagne 5 \euro.
\item Si le ticket porte la mention « perdu », il ne gagne rien.
\end{itemize}
On appelle X la variable aléatoire définie par le gain du joueur.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de X.
\item Calculer l'espérance mathématique de X.

Le jeu est-il équitable ?
\item Par quelle valeur doit-on remplacer le gain de 15 \euro{} pour que le jeu soit équitable ?
\end{enumerate}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de X est :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries\arraybackslash}Sr|*4{Sc|}}
\hline
$G=g_i$ & $-3$ & 2 & 7 & 12 \\
\hline
\probavar{G}{g_i} & 0,65 & 0,2 & 0,1 & 0,05\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $\esp{X}=-0,25$ et $\sigma(X)\approx4,3$.

Le jeu n'est donc pas équitable (car $\esp{X}\neq0$) et en moyenne, sur un grand nombre de parties, on peut s'attendre à gagner entre $-0,25-4,3=-4,55$ \euro{} et $-0,25+4,3=4,05$~\euro.
\newpage
\item Notons $x$ le gain qui doit remplacer 15 \euro{} pour que $\esp{X}=0$.

Alors,
\[
-3\times0,65+2\times0,2+7\times0,1+(x-3)\times0,05=0
\]
\underline{On trouve $x=20$.}
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{deux urnes et douze boules}[2]
On considère un jeu où deux urnes $U_1$ et $U_2$ sont remplies de 12 boules.

Dans $U_1$, il y a 8 boules rouges, 3 boules blanches et 1 boule noire.

Dans $U_2$, il y a 1 boule rouge, 8 boules blanches et 3 boules noires.

Le joueur tire au hasard une boule dans $U_1$, puis une autre dans $U_2$.

On note :
\begin{itemize}
\item R l'événement : \og la boule tirée est rouge \fg{} ;
\item B l'événement : \og la boule tirée est blanche \fg{} ;
\item N l'événement : \og la boule tirée est noire \fg.
\end{itemize}
\newpage
Si les deux boules tirées sont de la même couleur, le joueur gagne 10 \euro{}; sinon, il ne gagne rien.

Pour jouer, on doit s'acquitter d'une somme de 5 \euro.

On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre de probabilités suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (R1) at (0,2) {R};
\node (B1) at (0,0) {B};
\node (N1) at (0,-2) {N};
%
\node (R1R2) at (2,2.5) {R};
\node (R1B2) at (2,2) {B};
\node (R1N2) at (2,1.5) {N};
%
\node (B1R2) at (2,.5) {R};
\node (B1B2) at (2,0) {B};
\node (B1N2) at (2,-.5) {N};
%
\node (N1R2) at (2,-1.5) {R};
\node (N1B2) at (2,-2) {B};
\node (N1N2) at (2,-2.5) {N};
%
\draw (-2,0) -- (R1.west);
\draw (-2,0) -- (B1.west);
\draw (-2,0) -- (N1.west);
%
\draw (R1.east) -- (R1R2.west);
\draw (R1.east) -- (R1B2.west);
\draw (R1.east) -- (R1N2.west);
%
\draw (B1.east) -- (B1R2.west);
\draw (B1.east) -- (B1B2.west);
\draw (B1.east) -- (B1N2.west);
%
\draw (N1.east) -- (N1R2.west);
\draw (N1.east) -- (N1B2.west);
\draw (N1.east) -- (N1N2.west);
%
\node at (0,3) {$U_1$};
\node at (2,3) {$U_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace*{-1em}
\item Déterminer la loi de probabilités de X.
\item Calculer l'espérance mathématique de X, puis interpréter ce résultat.
\item Calculer la variance puis l'écart-type de X.
\end{enumerate}
\vspace*{-0.5em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilités complété est le suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (R1) at (0,2) {R};
\node (B1) at (0,0) {B};
\node (N1) at (0,-2) {N};
%
\node (R1R2) at (2,2.75) {R};
\node (R1B2) at (2,2) {B};
\node (R1N2) at (2,1.25) {N};
%
\node (B1R2) at (2,.75) {R};
\node (B1B2) at (2,0) {B};
\node (B1N2) at (2,-.75) {N};
%
\node (N1R2) at (2,-1.25) {R};
\node (N1B2) at (2,-2) {B};
\node (N1N2) at (2,-2.75) {N};
%
\draw (-2,0) -- (R1.west) node[midway,left] {$\frac{2}{3}$};
\draw (-2,0) -- (B1.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{4}$};
\draw (-2,0) -- (N1.west) node[midway,left] {$\frac{1}{12}$};
%
\draw (R1.east) -- (R1R2.west) node[midway,above,scale=0.75] {$\frac{1}{12}$};
\draw (R1.east) -- (R1B2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.75] {$\frac{2}{3}$};
\draw (R1.east) -- (R1N2.west) node[midway,below,scale=0.75] {$\frac{1}{4}$};
%
\draw (B1.east) -- (B1R2.west) node[midway,above,scale=0.75] {$\frac{1}{12}$};
\draw (B1.east) -- (B1B2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.75] {$\frac{2}{3}$};
\draw (B1.east) -- (B1N2.west) node[midway,below,scale=0.75] {$\frac{1}{4}$};
%
\draw (N1.east) -- (N1R2.west) node[midway,above,scale=0.75] {$\frac{1}{12}$};
\draw (N1.east) -- (N1B2.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.75] {$\frac{2}{3}$};
\draw (N1.east) -- (N1N2.west) node[midway,below,scale=0.75] {$\frac{1}{4}$};
%
\node at (0,3.5) {$U_1$};
\node at (2,3.5) {$U_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La probabilité d'avoir deux boules rouges est : $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{18}$.

La probabilité d'avoir deux boules blanches est : $\dfrac{1}{4}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}$.

La probabilité d'avoir deux boules noires est : $\dfrac{1}{12}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{48}$.

Ainsi, la probabilité d'avoir deux boules de la même couleur est :
\[
\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{48}=\dfrac{35}{144}.
\]

Par conséquent, la probabilité d'avoir deux boules de couleurs différentes est :
\[
1-\dfrac{35}{144}=\dfrac{109}{144}.
\]

Le gain algébrique du joueur peut être $-5$ \euro{} (s'il paie 5 \euro{} pour jouer et s'il ne gagne pas) ou $5$ \euro{} (s'il paie 5 \euro{} et qu'il gagne 10 \euro). 

On a alors :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries}Sr|*2{Sc|}}
\hline
X & $-5$ & 5\\
\hline
P(X) & $\dfrac{109}{144}$ & $\dfrac{35}{144}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item L'espérance mathématique de X est : $\begin{aligned}[t]
\esp{X} & = -5\times\dfrac{109}{144}+5\times\dfrac{35}{144}\\
\Aboxed{\esp{X} & = -\dfrac{185}{72}\approx-2,57}
\end{aligned}$

\medskip

\uline{Cela signifie que si l'on participe un grand nombre de fois à ce jeu, on peut \og espérer \fg{} perdre en moyenne 2,57 \euro.}

\item La variance de X est : $\begin{aligned}[t]
\var{X} & = \left[-5-\left(-\dfrac{185}{72}\right)\right]^2\times\dfrac{109}{144}+\left[5-\left(-\dfrac{185}{72}\right)\right]^2\times\dfrac{35}{144}\\
\Aboxed{\var{X} & = \dfrac{\numprint{95375}}{\numprint{5184}}\approx18,4}
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
\ectype{X} & = \sqrt{\var{X}}\\
& \approx \sqrt{18,4}\\
\Aboxed{\ectype{X} & \approx 4,29}
\end{aligned}$

\medskip

L'écart-type représentant l'écart moyen à l'espérance, le joueur peut espérer avoir un gain algébrique entre $\esp{X}-\ectype{X}\approx-6,86$ \euro{} et $\esp{X}+\ectype{X}\approx1,72$ \euro. 
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{deux urnes et probabilité maximale}[2]
On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$.

Dans $U_1$, il y a $n$ boules noires et 10 boules blanches.

Dans $U_2$, il y a 10 boules noires et $n+1$ boules blanches.

\medskip

On tire au hasard une boule dans chaque urne. 

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $n$ la probabilité de tirer deux boules de même couleur.
\item Pour quelle valeur de $n$ cette probabilité est maximale ?
\end{enumerate}
\vspace*{-1em}

\tcblower


\begin{enumerate}
\item La probabilité de tirer deux boules noires est :
\[
\dfrac{n}{n+10}\times\dfrac{10}{n+11}=\dfrac{10n}{(n+10)(n+11)}.
\]
La probabilité de tirer deux boules blanches est :
\[
\dfrac{10}{n+10}\times\dfrac{n+1}{n+11}=\dfrac{10(n+1)}{(n+10)(n+11)}.
\]
La probabilité de tirer deux boules de même couleur est la somme de ces deux probabilités donc :
\[
\boxed{\dfrac{10(2n+1)}{(n+10)(n+11)}}
\]
\item Posons $f(x)=\dfrac{10(2x+1)}{(x+10)(x+11)}=\dfrac{20x+10}{x^2+21x+110}$.

Alors,
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{20(x^2+21x+110)-(20x+10)(2x+21)}{(x^2+21x+110)^2}\\
& = \dfrac{20x^2+420x+\numprint{2200}-40x^2-420x-20x-210}{(x^2+21x+110)^2}\\
& = \dfrac{-20x^2-20x+\numprint{1990}}{(x^2+21x+110)^2}\\
& = \dfrac{10(-2x^2-2x+199)}{(x^2+21x+110)^2}
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $-2x^2-2x+19$ est :
\[
\Delta=4+8\times199=\numprint{1596}.
\]
Il a donc deux racines :
\[
x_1=\dfrac{2-\sqrt{\numprint{1596}}}{-4}=\dfrac{-1+\sqrt{399}}{2}>0
\text{ et } x_2=\dfrac{2+\sqrt{\numprint{1596}}}{-4}=\dfrac{-1-\sqrt{399}}{2}<0.
\]
On a alors le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorV=numpagecorrige!20,colorC=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{0,$x_1$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}

\end{center}
On voit alors que $f(x)$ atteint son maximum pour $x=\dfrac{-1+\sqrt{399}}{2}\approx9$.

\medskip

\uline{Ainsi, pour $n=9$, la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur est maximale.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{une urne et un jeu}[2]
On dispose d'une urne contenant 1 boule noire, 1 boule rouge, 2 boules jaunes et 3 boules bleues.

Un jeu consiste à effectuer deux tirages successifs sans remise dans cette urne.

\begin{itemize}
\item quand on tire une boule noire au 1\ier{} ou 2\up{nd} tirage, on ne gagne rien;
\item quand on tire une boule bleue au 2\up{nd} tirage, on gagne 1 \euro;
\item quand on tire une boule jaune au 2\up{nd} tirage, on gagne 5 \euro;
\item quand on tire une boule rouge au 2\up{nd} tirage, on gagne 10 \euro.
\end{itemize}

Pour avoir le droit de participer, un joueur doit miser 3 \euro.

On appelle X la variable aléatoire représentant le gain algébrique de ce jeu.

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré représentant la situation.
\item Donner la loi de probabilité de X.
\item Calculer l'espérance mathématique de X. Quelle conclusion peut-on alors faire ?
\item À la vue de la dernière conclusion, déterminer la mise de départ afin que le jeu soit équitable.
\item La mise de départ trouvée à la question précédente ne satisfaisant pas à l'organisateur du jeu, celui-ci souhaite modifier les règles du jeu. Il se demande s'il peut trouver une mise de départ pour laquelle le jeu serait équitable s'il multiplie tous les gains absolus (donc sans tenir compte de la mise de départ) par un entier $a$ non nul.

On pose Y la variable aléatoire représentant les gains algébriques de ce jeu avec les nouvelles règles. On note $m$ la mise de départ.
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $\text{Y}=a\text{X}+3a-m$.
\item Donner alors une réponse à la question de l'organisateur.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'arbre est présenté page suivante (faute de place sur celle-ci), en fin de corrigé.

\item D'après l'arbre précédent, 
\begin{itemize}
\item $\probavar{X}{-3}=\dfrac{1}{7}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{7}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{2}{7}$
\item $\probavar{X}{-2}=\dfrac{1}{7}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{7}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{14}$
\item $\probavar{X}{2}=\dfrac{1}{7}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{7}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{21}$
\item $\probavar{X}{7}=\dfrac{2}{7}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{7}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{42}$
\end{itemize}

La loi de probabilité de X est alors :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries\arraybackslash}Sr|*4{Sc|}}
\hline
$x_i$ & $-3$ & $-2$ & 2 & 7\\
\hline
\probavar{X}{x_i} & $\dfrac{2}{7}$ & $\dfrac{5}{14}$ & $\dfrac{5}{21}$ & $\dfrac{5}{42}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $\esp{X}=(-3)\times\dfrac{2}{7}+(-2)\times\dfrac{5}{14}+2\times\dfrac{5}{21}+7\times\dfrac{5}{42}=-\dfrac{11}{42}$.

\underline{Ainsi, le jeu est plutôt défavorable au joueur.}

\item $\esp{X}=-\dfrac{11}{42}$ donc il faut ajouter à la mise de départ $\dfrac{11}{42}$ \euro, soit à peu près 0,26 \euro.

\underline{La mise de départ doit donc être égale à $3-0,26=2,74$ \euro.}

\item
\begin{enumerate}
\item Les gains \emph{absolus} du jeu initial sont donnés par $\text{X}+3$ (on ne considère pas ici la mise de départ de 3 \euro). Si on multiplie tous les gains absolus par $a$, les nouveaux gains sont donnés par la variable aléatoire $a(\text{X}+3)=a\text{X}+3a$. En tenant compte de la mise souhaitée $m$, on arrive à la variable aléatoire $\text{Y}=a\text{X}+3a-m$.

\item $\esp{Y}=\esp{$a$X+3$a-m$}=a\esp{X}+3a-m$ par linéarité de l'espérance.

Ainsi, $\esp{Y}=-\dfrac{11a}{42}+3a-m$. 

Si le jeu est équitable, il faut que $\esp{Y}=0$, donc:
\[
-\dfrac{11a}{42}+3a-m=0\qquad\text{soit:}\qquad m=-\dfrac{11a}{42}+3a =\left(-\dfrac{11}{42}+\dfrac{3\times42}{42}\right)a
 =\dfrac{115}{42}.
\]
Par conséquent, l'organisateur doit fixer la mise de départ à $\dfrac{115}{42}$ \euro{} (soit à peu près 2,74 \euro) pour que le jeu soit équitable avec ces nouvelles règles.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\node (RJ) at (4,12) {J};
\node (RB) at (4,11) {B};
\node (RN) at (4,10) {N};
%
\node (JJ) at (4,9) {J};
\node (JB) at (4,8) {B};
\node (JR) at (4,7) {R};
\node (JN) at (4,6) {N};
%
\node (BJ) at (4,5) {J};
\node (BB) at (4,4) {B};
\node (BR) at (4,3) {R};
\node (BN) at (4,2) {N};
%%
\node (R) at (2,11) {R};
\node (J) at (2,7.5) {J};
\node (B) at (2,4.5) {B};
\node (N) at (2,0) {N};
%
\draw (0,6) -- (R.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{7}$};
\draw (0,6) -- (J.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{2}{7}$};
\draw (0,6) -- (B.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{3}{7}$};
\draw (0,6) -- (N.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{7}$};
%
\draw (R.east) -- (RJ.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{3}$};
\draw (R.east) -- (RB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{2}$};
\draw (R.east) -- (RN.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{6}$};
%
\draw (J.east) -- (JJ.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{6}$};
\draw (J.east) -- (JB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{2}$};
\draw (J.east) -- (JR.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{6}$};
\draw (J.east) -- (JN.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{6}$};
%
\draw (B.east) -- (BJ.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{3}$};
\draw (B.east) -- (BB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{3}$};
\draw (B.east) -- (BR.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{6}$};
\draw (B.east) -- (BN.west) node[midway,fill=pagecorrige!30,scale=0.7] {$\frac{1}{6}$};
%
\draw[->] (RJ.east) -- ($(RJ)+(2,0)$) node[right] {$5-3=2$ \euro};
\draw[->] (RB.east) -- ($(RB)+(2,0)$) node[right] {$1-3=-2$ \euro};
\draw[->] (RN.east) -- ($(RN)+(2,0)$) node[right] {$0-3=-3$ \euro};
\draw[->] (JJ.east) -- ($(JJ)+(2,0)$) node[right] {$5-3=2$ \euro};
\draw[->] (JB.east) -- ($(JB)+(2,0)$) node[right] {$1-3=-2$ \euro};
\draw[->] (JR.east) -- ($(JR)+(2,0)$) node[right] {$10-3=7$ \euro};
\draw[->] (JN.east) -- ($(JN)+(2,0)$) node[right] {$0-3=-3$ \euro};
\draw[->] (BJ.east) -- ($(BJ)+(2,0)$) node[right] {$5-3=2$ \euro};
\draw[->] (BB.east) -- ($(BB)+(2,0)$) node[right] {$1-3=-2$ \euro};
\draw[->] (BR.east) -- ($(BR)+(2,0)$) node[right] {$10-3=7$ \euro};
\draw[->] (BN.east) -- ($(BN)+(2,0)$) node[right] {$0-3=-3$ \euro};
\draw[->] (N.east) -- ($(N)+(4,0)$) node[right] {$0-3=-3$ \euro};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exocor}


%%% 

\begin{exocor}{maladie, valeur prédictive et coût du test}[2]
Une maladie touche 20\% de la population d'une ville.

Lors d'un dépistage de la maladie, on utilise un test biologique vendu par une entreprise qui a les caractéristiques suivantes:
\begin{itemize}
\item lorsque la personne est malade, la probabilité d'avoir un test positif est 0,85;

\item lorsque la personne n'est pas malade, la probabilité d'avoir un test négatif est 0,95.
\end{itemize}

On choisit une personne au hasard dans cette population.

On note T l' événement \og la personne a un test positif à cette maladie \fg et M l'événement \og la personne est atteinte de cette maladie \fg.

\begin{enumerate}
\item Complétez l'arbre suivant.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (M) at (2,2) {$M$};
\node (MB) at (2,-2) {$\overline{M}$};
\node (MT) at (6,3) {$T$};
\node (MTB) at (6,1) {$\overline{T}$};
\node (MBT) at (6,-1) {$T$};
\node (MBTB) at (6,-3) {$\overline{T}$};
\draw (0,0) -- (M.west);
\draw (0,0) -- (MB.west);
\draw (M.east) -- (MT.west);
\draw (M.east) -- (MTB.west);
\draw (MB.east) -- (MBT.west);
\draw (MB.east) -- (MBTB.west);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Calculer $P(M \cap T)$.
\item Montrer que $P(T)=0,21$.
\item On appelle \textit{valeur prédictive positive} du test la probabilité qu'une personne soit malade sachant que le test est positif. On estime que ce test est efficace pour une population donnée lorsque cette probabilité est supérieure à 0,95.

Ce test est-il efficace sur la population étudiée?

\item Le test est vendu 5 \euro. Si le test ne correspond pas à l'état de la personne l'utilisant, il est intégralement remboursé; sinon, il ne l'est pas.

Calculer la recette moyenne d'un test pour l'entreprise le commercialisant.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'arbre complété est le suivant:
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (M) at (2,2) {$M$};
\node (MB) at (2,-2) {$\overline{M}$};
\node (MT) at (6,3) {$T$};
\node (MTB) at (6,1) {$\overline{T}$};
\node (MBT) at (6,-1) {$T$};
\node (MBTB) at (6,-3) {$\overline{T}$};
%
\draw (0,0) -- (M.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {0,2};
\draw (0,0) -- (MB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {0,8};
\draw (M.east) -- (MT.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {0,85};
\draw (M.east) -- (MTB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {0,15};
\draw (MB.east) -- (MBT.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {0,05};
\draw (MB.east) -- (MBTB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {0,95};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
P(M \cap T) & = P(M) \times P_M(T)\\
P(M \cap T) & = 0,2 \times 0,85\\
\Aboxed{P(M \cap T) & = 0,17}
\end{aligned}$

\item $M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers (la population de la ville) donc d'après la formule des probabilités totales, on a:
\begin{align*}
P(T) & = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T)\\
& = 0,17 + 0,8\times0,05\\
\Aboxed{P(T) & = 0,21}
\end{align*}

\item Dans cette question, on nous demande de calculer $P_T(M)$.
\begin{align*}
P_T(M) & = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}\\
& = \dfrac{0,17}{0,21}\\
\Aboxed{P_T(M) =& \approx 0,81}
\end{align*}

$P_T(M) < 0,95$ par conséquent, le test n'est pas estimé efficace.

\item Notons $X$ la variable aléatoire représentant la recette de l'entreprise qui commercialise les tests, exprimée en euro.

Alors, $X = \{5 ; -5\}$. D'après les calculs précédents, la loi de probabilité de $X$ est:
\begin{itemize}
\item $P(X=5) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap \overline{T}) = 0,17 + 0,76 = 0,93$;

\item $P(X=5) = P(M \cap \overline{T}) + P(\overline{M} \cap T) = 1-0,93 = 0,07$.
\end{itemize}

\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}Sl|Sc|Sc|}
\hline
$X$ & $-5$ & 5\\
\hline
$P(X)$ & 0,07 & 0,93\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
L'espérance mathématique de $X$ est alors:
\begin{align*}
E(X) &= -5 \times 0,07 + 5 \times 0,93\\
\Aboxed{E(X)&=4,3}
\end{align*}
\underline{La recette moyenne d'un test est donc égale à 4,3 \euro.}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{dans le BDS}[2]
Dans une école d'ingénieurs, certains étudiants s'occupent de la gestion des associations comme par exemple le BDS (bureau des sports).

Sur les cinq années d'études, le cycle \og licence \fg{} dure les trois premières années, et les deux dernières années sont celles du cycle de \og spécialisation \fg.

On constate que, dans cette école, il y a \pourcent{40} d'étudiants dans le cycle \og licence \fg et \pourcent{60}
dans le cycle de \og spécialisation \fg.
\begin{itemize}
\item Parmi les étudiants du cycle \og licence \fg, \pourcent{8} sont membres du BDS;
\item Parmi les étudiants du cycle de \og spécialisation \fg, \pourcent{10} sont membres du BDS.
\end{itemize}
On considère un étudiant de cette école choisi au hasard, et on considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $L$ : \og L'étudiant est dans le cycle \og licence \fg; \evcont{L} est son événement contraire.
\item $B$ : \og L'étudiant est membre du BDS \fg; \evcont{B}
est son événement contraire.
\end{itemize}
La probabilité d'un événement $A$ est notée $P(A)$.

\medskip

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré modélisant la situation.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.75,xscale=2]
\node (R) at (2,2) {L};
\node (V) at (2,-2) {\evcont{L}};
\node (RG) at (4,3) {B};
\node (RGB) at (4,1) {\evcont{B}};
\node (VG) at (4,-1) {B};
\node (VGB) at (4,-3) {\evcont{B}};
\draw (0,0) -- (R.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {$0,4$};
\draw (0,0) -- (V.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {$\ldots$};
\draw (R.east) -- (RG.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {$\ldots$};
\draw (R.east) -- (RGB.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {$\ldots$};
\draw (V.east) -- (VG.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {$\ldots$};
\draw (V.east) -- (VGB.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {$\ldots$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que l'étudiant choisi soit en cycle \og licence \fg et membre du BDS.

\item En utilisant l'arbre pondéré, montrer que $P(B) = 0,092$.
\end{enumerate}

\medskip

\partie{B}

Le BDS décide d'organiser une randonnée en montagne. Cette sortie est proposée à tous les étudiants de cette école mais le prix qu'ils auront à payer pour y participer est variable. Il est de 60~\euro{} pour les étudiants qui ne sont pas membres du BDS, et de 20~\euro{} pour les étudiants qui sont membres du BDS.

On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant la somme à payer pour un étudiant qui désire faire cette randonnée.

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
\item Donner la loi de probabilité de $X$, et calculer l'espérance de $X$.
\end{enumerate}

\tcblower

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item L'arbre complété est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.75,xscale=2]
\node (R) at (2,2) {L};
\node (V) at (2,-2) {\evcont{L}};
\node (RG) at (4,3) {B};
\node (RGB) at (4,1) {\evcont{B}};
\node (VG) at (4,-1) {B};
\node (VGB) at (4,-3) {\evcont{B}};
\draw (0,0) -- (R.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,4$};
\draw (0,0) -- (V.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,6$};
\draw (R.east) -- (RG.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,08$};
\draw (R.east) -- (RGB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,92$};
\draw (V.east) -- (VG.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,1$};
\draw (V.east) -- (VGB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,9$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
P(L \cap B) & = P(L) \times \probacond{B}{L}\\
& = 0,4 \times 0,08\\
& = 0,032.
\end{aligned}$

\uline{Ainsi, la probabilité que l'étudiant choisi soit en cycle \og licence \fg et membre du BDS est égale à 0,32.}

\item D'après la formule des probabilités totales, 
\begin{align*}
P(B) = P(L \cap B) + P(\evcont{B} \cap B)\\
& = 0,032 + 0,6\times0,1\\
& = 0,032 + 0,06\\
\Aboxed{P(B) & = 0,092}
\end{align*}
\end{enumerate}

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item $X = \{20 ; 60 \}$.
\item La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries}Sr|*2{Sc|}}
\hline
X & 20 & 60\\
\hline
P(X) & $0,092$ & $1-0,092=0,908$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Ainsi, l'espérance de $X$ est :
\begin{align*}
E(X) & = 20\times0,092 + 60\times0,908\\
\Aboxed{E(X) & = 56,32}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{vers une équation}[2]
Dans une urne, il y a 9 boules rouges et $n$ boules blanches.

Un joueur doit payer 5 \euro{} pour tirer au hasard une boule de cette urne.

Si la boule tirée est rouge, il ne gagne rien; si elle est blanche, il gagne 20 \euro.

\medskip

Quelle doit être la valeur de $n$ pour que le jeu soit équitable ?

\tcblower

La mise est de 5 \euro, donc si le joueur tire une boule rouge, il aura au final perdu 5 \euro. S'il tire une boule blanche, il gagne 20 \euro{} moins la mise de départ, soit au final 15 \euro.

L'espérance du jeu est donc:
\[
-5\times\frac{9}{9+n} + 15\times\frac{n}{9+n}=\frac{15n-45}{9+n}.
\]
Le jeu est équitable si cette valeur est nulle:
\[
15n-45=0 \iff n = 3.
\]
Il faut donc qu'il y ait trois boules blanches pour que le jeu soit équitable.
\end{exocor}



%%% 

\begin{exocor}{deux dés cubiques}[2]
\begin{enumerate}
\item On lance deux dés cubiques équilibrés \og classiques \fg{} et on note les numéros apparaissant sur la face supérieure de chaque dé.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au produit des numéros apparaissant sur les deux faces.

Le jeu est gagné si le produit des numéros apparaissant sur les faces supérieures des deux dés lancés est strictement inférieur à 10.

\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Déterminer la probabilité de gagner.
\end{enumerate}

\item On lance à présent deux dés spéciaux : ce sont des dés cubiques parfaitement équilibrés dont les faces sont numérotées différemment des dés classiques.
\begin{itemize}
\item Les faces du premier dé sont numérotées avec les chiffres : 1, 2, 2, 3, 3, 4.
\item Les faces du deuxième dé sont numérotées avec les chiffres : 1, 3, 4, 5, 6, 8.
\end{itemize}
On note $Y$ la variable aléatoire égale au produit des numéros apparaissant sur les deux faces après lancer de ces deux dés spéciaux.

Déterminer $P(Y > 10)$.

\item Est-il préférable de jouer au jeu de la question 1 avec des dés classiques ou avec des dés spéciaux ?

\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Construisons un tableau à double entrée pour visualiser tous les produits possibles:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}c|*6{c|}}
\hline\rowcolor{numpagecorrige!20}
\diagbox{Dé 1}{Dé 2} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
\hline
2 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12\\
\hline
3 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18\\
\hline
4 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24\\
\hline
5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30\\
\hline
6 & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \underline{Ainsi, $X = \{ 1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;15;16;18;20;24;30;36\}$}.
\item La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :

\begin{center}
\scalebox{0.75}{%
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}Sc|*{18}{Sc|}}
\hline
$X=k$ & 1&2&3&4&5&6&8&9&10&12&15&16&18&20&24&25&30&36\\
\hline
$P(X=k)$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{4}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{4}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$\\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}

\item $P(X<10)=\dfrac{1+2+2+3+1+4+2+1}{36}=\dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9}$.
\end{enumerate}

\item Faisons comme dans la question 1 en présentant les différents produits dans un tableau:

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}c|*6{c|}}
\hline\rowcolor{numpagecorrige!20}
\diagbox{Dé 1}{Dé 2} & 1&2&2&3&3&4\\
\hline
1 & 1&2&2&3&3&4\\
\hline
3 & 3&6&6&9&9&12\\
\hline
4 & 4&8&8&12&12&16\\
\hline
5 & 5&10&10&15&15&20\\
\hline
6 & 6&12&12&18&18&24\\
\hline
8 & 8&16&16&24&24&32\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

La loi de probabilité de $Y$ est donc:

\begin{center}
\scalebox{0.85}{%
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}c|*{16}{Sc|}}
\hline
$Y=k$ & 1&2&3&4&5&6&8&9&10&12&15&16&18&20&24&32\\
\hline
$P(Y=k)$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$\\
\hline
\end{tabular}}
\end{center}

Ce qui donne:
\[
P(Y<10)=\dfrac{1+2+3+2+1+3+3+2}{36}=\dfrac{17}{36}.
\]

\item $P(Y<10) > P(X<10)$ donc il est préférable de jouer avec le dé de la deuxième question.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{canapés et tables de salon}[2]
Un magasin commercialise des canapés et des tables de salon.

Quand un client se présente, il achète au plus un canapé et au plus une table de salon. Une étude a montré que :
\begin{itemize}
\item la probabilité pour qu'un client achète un canapé est 0,24;
\item la probabilité pour qu'un client achète une table de salon quand il a acheté un canapé est 0,25;
\item la probabilité pour qu'un client achète une table de salon quand il n'achète pas de canapé est 0,1.
\end{itemize}
On choisit un client au hasard parmi ceux ayant participé à l'étude. On note :
\begin{itemize}
\item $C$ l'événement \og le client achète un canapé \fg{} et \evcont{C} son événement contraire;
\item $T$ l'événement \og le client achète une table de salon \fg{} et \evcont{T} son événement contraire.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Calculer la probabilité que le client achète un canapé et une table de salon.
\item Montrer que la probabilité $P(T)$ est égale à 0,136.
\item Dans ce magasin, le prix moyen d'un canapé est de \numprint{1000}~\euro{} et le prix moyen d'une
table de salon est de 300~\euro. On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la somme payée par le client.
\newpage
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce}\color{white}}Sr|*4{Sc|}}
\hline
$x_i$ &  0& 300& \numprint{1000}& \numprint{1300}\\
\hline
$P(X = x_i)$ & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Calculer l'espérance de $X$.

Donner une interprétation de ce nombre dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item L'arbre est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.65,xscale=2]
\node (R) at (2,2) {C};
\node (V) at (2,-2) {\evcont{C}};
\node (RG) at (4,3) {T};
\node (RGB) at (4,1) {\evcont{T}};
\node (VG) at (4,-1) {T};
\node (VGB) at (4,-3) {\evcont{T}};
\draw (0,0) -- (R.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,24$};
\draw (0,0) -- (V.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,76$};
\draw (R.east) -- (RG.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,25$};
\draw (R.east) -- (RGB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,75$};
\draw (V.east) -- (VG.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,1$};
\draw (V.east) -- (VGB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,9$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
P(C \cap T) & = P(C) \times \probacond{T}{C}\\
& = 0,24 \times 0,25\\
& = 0,06.
\end{aligned}$

\uline{La probabilité qu'un client achète un canapé et une table de salon est donc égale à 0,06.}

\item D'après la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
P(T) & = P(C \cap T) + P(\evcont{C} \cap T)\\
& = 0,06 + 0,76 \times 0,1\\
\Aboxed{P(T) & = 0,136}
\end{align*}

\item 
\begin{enumerate}
\item Le tableau complété est le suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}}Sr|*4{Sc|}}
\hline
$x_i$ &  0& 300& \numprint{1000}& \numprint{1300}\\
\hline
$P(X = x_i)$ & $0,684$ & $0,076$ & $0,18$ & 0,06 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{itemize}
\item $P(X = 0) = 0,76\times0,9=0,684$;
\item $P(X = 300) = 0,76\times0,1=0,076$;
\item $P(X = \numprint{1000}) = 0,24\times0,75=0,18$.
\end{itemize}

\item $\begin{aligned}[t]
E(X) & = 0\times0,684 + 300\times0,076 + \numprint{1000}\times0,18 + \numprint{1300}\times0,06\\
\Aboxed{E(X) & = 280,80}
\end{aligned}$

\uline{Ainsi, la dépense moyenne d'un client dans ce magasin est égale à 280,80~\euro.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%


\begin{exocor}{smartphones}[2]
\textit{Dans cet exercice toutes les probabilités seront données sous forme décimale, arrondie au millième.}

\medskip

Une entreprise récupère des smartphones endommagés, les répare et les reconditionne afin de les revendre à prix réduit.
\begin{itemize}
\item \pourcent{45} des smartphones qu'elle récupère ont un écran cassé ;
\item parmi les smartphones ayant un écran cassé, \pourcent{30} ont également une batterie défectueuse ;
\item par contre, seulement \pourcent{20} des smartphones ayant un écran non cassé ont une batterie défectueuse.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Un technicien chargé de réparer et reconditionner les smartphones de l'entreprise prend un smartphone au hasard dans le stock. On note :
\begin{itemize}
\item $E$ l'événement : \og Le smartphone choisi a un écran cassé. \fg
\item $B$ l'événement : \og Le smartphone choisi a une batterie défectueuse. \fg
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation décrite ci-dessus par un arbre pondéré.
\item Démontrer que la probabilité que le smartphone choisi ait une batterie défectueuse est égale à 0,245.
\item Sachant que le smartphone choisi a une batterie défectueuse, quelle est la probabilité qu'il ait un écran cassé ?
\end{enumerate}

\item L'entreprise dépense 20 \euro{} pour réparer et reconditionner chaque smartphone qu'elle récupère. Si l'écran est cassé, elle dépense 30~\euro{} supplémentaires, et si la batterie est défectueuse, elle dépense 40~\euro{} supplémentaires.

On note $X$ la variable aléatoire égale au coût total de réparation et reconditionnement d'un smartphone choisi au hasard dans le stock.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter sur la copie (aucune justification n'est attendue) le tableau suivant pour donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce}\color{white}}Sr|*4{Sc|}}
\hline
$x_i$ &  20& 50& ... & ...\\
\hline
$P(X = x_i)$ & $0,44$ & ... & ... & ... \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item L'entreprise doit réparer et reconditionner 500 smartphones.

Combien doit-elle s'attendre à dépenser ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item L'arbre représentant la situation est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.75,xscale=2]
\node (R) at (2,2) {E};
\node (V) at (2,-2) {\evcont{E}};
\node (RG) at (4,3) {B};
\node (RGB) at (4,1) {\evcont{B}};
\node (VG) at (4,-1) {B};
\node (VGB) at (4,-3) {\evcont{B}};
\draw (0,0) -- (R.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,45$};
\draw (0,0) -- (V.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,55$};
\draw (R.east) -- (RG.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,3$};
\draw (R.east) -- (RGB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,7$};
\draw (V.east) -- (VG.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,2$};
\draw (V.east) -- (VGB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$0,8$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\begin{aligned}[t]
P(B) & = P(E\cap B) + P(\evcont{E}\cap B)\\
& = 0,45\times0,3 + 0,55\times0,2\\
\Aboxed{P(B) & = 0,245}
\end{aligned}$

\uline{La probabilité que le smartphone choisi ait une batterie défectueuse est égale à 0,245.}

\item $\begin{aligned}[t]
P_B(E) & =\dfrac{P(B \cap E)}{P(B)}\\
& = \dfrac{0,45\times0,3}{0,245}\\
\Aboxed{P_B(E)& \approx 0,551}
\end{aligned}$

\medskip

\uline{Sachant que le smartphone choisi a une batterie défectueuse, la probabilité qu'il ait un écran cassé est égale à environ 0,551.}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de $X$ est la suivante:

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!20}}Sr|*4{Sc|}}
\hline
$x_i$ &  20& 50& 60 & 90\\
\hline
$P(X = x_i)$ & $0,44$ & $0,315$ & $0,11$ & $0,135$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\newpage
Explications (non demandées): 
\begin{itemize}
\item $P(X=20) = P(\evcont{E}\cap\evcont{B})=0,55\times0,8=0,44$.
\item $P(X=50) = P(E \cap \evcont{B})=0,45 \times 0,7 = 0,315$.
\item $P(X=60) = P(\evcont{E}\cap B) = 0,55\times0,2=0,11$.
\item $P(X=90) = P(E \cap B) = 0,45\times0,3=0,135$.
\end{itemize}

\item L'espérance mathématique de $X$ est:
\[
E(X) = 20\times0,44+50\times0,315+60\times0,11+90\times0,135=43,3.
\]
Ainsi, en moyenne, l'entreprise dépense 43,30 \euro{} par smartphone. Donc, si elle reconditionne 500 smartphones, elle doit s'attendre à dépenser $500\times43,3$\euro{}, soit \numprint{21650}~\euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exocor}



%%% 

\begin{exocor}{prendre des initiatives}[3]
Voici la loi de probabilité d'une variable aléatoire X :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce}\color{white}\bfseries\arraybackslash}Sr|*4{Sc|}}
\hline
X & 50 & 100 & 200 & 500\\
\hline
\probavar{X}{x_i} & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{1}{10}$ & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{3}{10}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On souhaite modifier les valeurs de X, tout en conservant les mêmes probabilités, afin que son espérance soit égale à 0 et son écart-type égal à 1.

Proposer les valeurs de la nouvelle variable aléatoire. Pour cela, on s'aidera des formules suivantes:
\[
\esp{aX+b} = a\esp{X}+b\qquad;\qquad\sigma(aX+b)=|a|\sigma{X}.
\]

\tcblower

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpagecorrige!10}\bfseries\arraybackslash}Sr|*4{Sc|}}
\hline
X & 50 & 100 & 200 & 500\\
\hline
\probavar{X}{x_i} & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{1}{10}$ & $\dfrac{3}{10}$ & $\dfrac{3}{10}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\[
\esp{X}=235\qquad\text{et}\qquad\sigma(X)=\sqrt{\numprint{33525}}=15\sqrt{149}. 
\]
De plus, on sait que :
\[
\esp{$a$X+$b$}=a\esp{X}+b
\]
On cherche donc $a$ et $b$ afin d'avoir :
\[
a\esp{X}+b=0 \iff 235a+b=0 \iff b=-235a.
\]
De plus, 
\[
\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X).
\]
On souhaite que $\sigma(aX+b)=1$ donc :
\[
|a|\sigma(X)=1 \iff |a|=\dfrac{1}{15\sqrt{149}}.
\]
On en déduit alors que :
\[
\text{si }a=\dfrac{1}{15\sqrt{149}}\text{ alors } b=-\dfrac{235}{15\sqrt{149}}.
\]
Dans ce cas, la nouvelle variable aléatoire sera :
\[
Y=\dfrac{X-235}{15\sqrt{149}} = \left\{ -\dfrac{37}{3\sqrt{149}}~;~-\dfrac{9}{\sqrt{149}}~;~-\dfrac{7}{3\sqrt{149}}~;~\dfrac{53}{3\sqrt{149}} \right\}.
\]
De plus,
\[
\text{si }a=-\dfrac{1}{15\sqrt{149}}\text{ alors } b=\dfrac{235}{15\sqrt{149}}.
\]
\newpage
Dans ce cas, la nouvelle variable aléatoire sera :
\[
Z=-Y=\left\{ \dfrac{37}{3\sqrt{149}}~;~\dfrac{9}{\sqrt{149}}~;~\dfrac{7}{3\sqrt{149}}~;~-\dfrac{53}{3\sqrt{149}} \right\}.
\]
\begin{rem}
À travers cet exemple, on peut remarque que si X est une variable aléatoire d'espérance $\esp{X}$ et d'écart-type $\sigma(X)$ alors la variable $Y=\dfrac{X-\esp{X}}{\sigma(X)}$ est telle que $\esp{Y}=0$ et $\sigma(Y)=1$.
\end{rem}
\vspace*{2cm}
\end{exocor}


\newpage


\subsection*{Algorithmique et programmation}

%%%

\begin{exocor}{}[1]
On considère la variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce}\color{white}\bfseries\arraybackslash}Sr|*7{Sc|}}
\hline
$X=x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
\hline
$P(X=x_i)$ & 0,05 & 0,12 & 0,21 & 0,14 & 0,17 & 0,27 & 0,04\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On modélise en Python cette loi de probabilité par la variable \texttt{X} ci-dessous:
\begin{python*}
X = [ (1,0.05) , (2,0.12) , (3,0.21) , (4,0.14), (5,0.17) , (6,0.27) , (7,0.04) ]
\end{python*}

On considère la variable $Y=-3X+5$.

\medskip

\'Ecrire le code permettant de créer la liste \texttt{Y} modélisant la loi de probabilité de $Y$.

\tcblower

Pour construire la variable \texttt{Y}, on peut procéder ainsi:

\begin{python}
X = [ (1,0.05) , (2,0.12) , (3,0.21) , (4,0.14), (5,0.17) , (6,0.27) , (7,0.04) ]

Y = [ ]

for c in X:
    Y.append( ( -3*c[0]+5 , c[1] ) )
\end{python}

\textit{Explications:}
\begin{itemize}
\item on commence par initialiser la variable \texttt{Y} comme étant une liste vide (crochets sans rien à l'intérieur);

\medskip

\item on parcourt la liste \texttt{X} avec l'instruction \og \texttt{for c in X:} \fg{}: ici, chaque valeur que va prendre la variable \texttt{c} sera une valeur contenue dans la liste \texttt{X}; donc \texttt{c} est un couple, où \texttt{c[0]} représentera la valeur de $X$ et \texttt{c[1]} sa probabilité;

\medskip

\item on insère dans la liste \texttt{Y} le couple \texttt{(-3*c[0]+5,c[1])} car $Y=-3X+5$, ce qui signifie que chaque valeur de $Y$ est obtenue en multipliant par $-3$ chaque valeur que prend $X$ et en ajoutant 5, et que chaque probabilité reste inchangée.
\end{itemize}

\newpage

\begin{rem}
On peut aussi envisager de construire la liste \texttt{Y} par \textit{compréhension}, où la syntaxe est plus concise:
\begin{python}
X = [ (1,0.05) , (2,0.12) , (3,0.21) , (4,0.14), (5,0.17) , (6,0.27) , (7,0.04) ]

Y = [ ( -3*c[0]+5 , c[1] ) for c in X]
\end{python}
\end{rem}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{}[2]
On considère la variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce}\color{white}\bfseries\arraybackslash}Sr|*7{Sc|}}
\hline
$X=x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
\hline
$P(X=x_i)$ & 0,05 & 0,12 & 0,21 & 0,14 & 0,17 & 0,27 & 0,04\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On modélise en Python cette loi de probabilité par la variable \texttt{X} ci-dessous:
\begin{python*}
X = [ (1,0.05) , (2,0.12) , (3,0.21) , (4,0.14), (5,0.17) , (6,0.27) , (7,0.04) ]
\end{python*}

\begin{enumerate}
\item \'Ecrire une fonction Python \texttt{esperance(X)} qui renvoie la valeur de l'espérance de $X$.
\item \'Ecrire une fonction Python \texttt{variance(X)} qui renvoie la valeur de la variance de $X$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Voici une proposition de fonction pour calculer l'espérance de $X$:

\begin{python}
def esperance(X):
    s = 0
    
    for c in X:
        s = s + c[0]*c[1]
        
    return s
\end{python}

Pour écrire cette fonction, je me suis inspiré de la formule permettant de calculer l'espérance:
\[
E(X)=\sum_{i=1}^n x_i \times pi
\]
On doit donc ajouter tous les produits $x_i \times p_i$, représentés en Python par \texttt{c[0]*c[1]}.

\item La variance de $X$ est l'espérance de la variable aléatoire $(X - E(X))^2$. On peut donc écrire la fonction suivante:
\begin{python}
def variance(X):
    E = esperance(X)
    
    # on construit Y par compréhension
    Y = [ ((c[0]-E)**2 , c[1]) for c in X ]
    
    return esperance(Y)
\end{python}

\newpage

Si vous n'êtes pas très à l'aise avec les listes par compréhension, on peut aussi voir les choses ainsi:
\begin{python}
def variance(X):
    E = esperance(X)
    Y = [ ]
    
    for c in X:
        Y.append( ( (c[0]-E)**2 , c[1] ) )
        
    return esperance(Y)
\end{python}
\begin{console}
>>> esperance(X), variance(X)
4.23, 2.6971
\end{console}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%
\newpage
\begin{exocor}{formule de König-Huygens}[2]
On considère la variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau ci-dessous:
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{numpageenonce}\color{white}\bfseries\arraybackslash}Sr|*7{Sc|}}
\hline
$X=x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\
\hline
$P(X=x_i)$ & 0,05 & 0,12 & 0,21 & 0,14 & 0,17 & 0,27 & 0,04\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On modélise en Python cette loi de probabilité par la variable \texttt{X} ci-dessous:
\begin{python*}
X = [ (1,0.05) , (2,0.12) , (3,0.21) , (4,0.14), (5,0.17) , (6,0.27) , (7,0.04) ]
\end{python*}

La formule de König-Huygens nous donne un moyen de calculer la variance de $X$ en connaissance son espérance:
\[
V(X)=E(X^2)-\big[E(X)\big]^2.
\]

\'Ecrire une fonction \texttt{variance(X)} calculant la variance de $X$ en utilisant cette formule et qui renvoie cette valeur.

Pour cela, on suppose que l'on a déjà une fonction \texttt{esperance(X)} qui renvoie l'espérance de $X$ (comme présentée dans l'exercice \ref{exercice:\thechapter.15}.

\tcblower

Une fonction possible est la suivante:
\begin{python}
def variance(X):
    Y = [ ]
    for c in X:
        Y.append( ( c[0]**2 , c[1] ) )
        
    return esperance(Y) - esperance(X)**2
\end{python}

que l'on peut aussi écrire de façon plus concise comme suit (en construisant la liste \texttt{Y} par compréhension):

\begin{python}
def variance(X):
    Y = [ ( c[0]**2 , c[1] ) for c in X ]
    
    return esperance(Y) - esperance(X)**2
\end{python}

\begin{rem}
Vous voyez ici l'importance de moduler un programme. En effet, en faisant ainsi, on peut dans un programme se servir des fonctions définies dans un autre programme.
\end{rem}
\end{exocor}



\corriges
