
\begin{enumerate}
\item $x^2-2x+1=(x-1)^2$ (c'est une identité remarquable).

Par conséquent, $\Delta=0$ et sa racine double est $\alpha=1$.

\item $x^2-3x+2$.
\[ \Delta = (-3)^2-4\times1\times2=9-8=1.\]
Les racines sont donc :
\[
\alpha=\dfrac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\times1}=1\qquad\text{et}\qquad \beta=\dfrac{-(-3)+\sqrt{1}}{2\times1}=2.
\]

\item $-x^2+3x-2$.
\[ \Delta = 3^2-4\times(-1)\times(-2)=9-8=1.\]
Les racines sont donc :
\[
\alpha=\dfrac{-3-\sqrt{1}}{2\times(-1)}=2\qquad\text{et}\qquad \beta=\dfrac{-3+\sqrt{1}}{2\times(-1)}=1.
\]

\item $x^2+x+1$.
\[ \Delta=1^2-4\times1\times1=-3.\]
$\Delta<0$ donc le trinôme n'a aucune racine.

\item $3x^2-5x+1$.
\[ \Delta=(-5)^2-4\times3\times1=25-12=13.\]
Les racines sont donc :
\[
\alpha=\dfrac{-(-5)-\sqrt{13}}{2\times3}=\dfrac{5-\sqrt{13}}{6}\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{5+\sqrt{13}}{6}.
\]

\item $-2x^2-5x+3$.
\[ \Delta=(-5)^2-4\times(-2)\times3=25+24=49.\]
Les racines sont donc :
\[
\alpha=\dfrac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\times(-2)}=\dfrac{5-7}{-4}=\dfrac{1}{2}\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{5+7}{-4}=-3.
\]

\item $\dfrac{1}{4}x^2-4x+16$.
\[ \Delta=(-4)^2-4\times\dfrac{1}{4}\times16=16-16=0.\]
Donc le trinôme a une racine double :
\[ \alpha=-\dfrac{-4}{2\times\frac{1}{4}}=8.\]

\item $3x^2-8x+2$.
\[ \Delta=(-8)^2-4\times3\times2=64-24=40.\]
Les racines sont donc :
\[
\alpha=\dfrac{-(-8)-\sqrt{40}}{2\times3}=\dfrac{8-2\sqrt{10}}{6}=\dfrac{4-\sqrt{10}}{3}\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{4+\sqrt{10}}{6}.
\]

\item $-5x^2+4x+3$.
\[ \Delta = 4^2-4\times(-5)\times3=16+60=76.\]
Les racines sont donc :
\[
\alpha=\dfrac{-4-\sqrt{76}}{2\times(-5)}=\dfrac{-4-2\sqrt{19}}{-10}=\dfrac{2+\sqrt{19}}{5}\qquad\text{et}\qquad\beta=\dfrac{2-\sqrt{19}}{5}.
\]
\end{enumerate}
