
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$ donc $R=\dfrac{R_1R_2}{r}$, ce qui donne :
\[
2=\dfrac{R_1R_2}{10}\qquad\text{soit :}\qquad R_1R_2=20.
\]
D'après le cours, on sait que $P=R_1R_2=20$ et $S=R_1+R_2=10$ et donc que $R_1$ et $R_2$ sont racines du trinôme :
\[ x^2-Sx+P\qquad\text{soit : }\qquad x^2-10x+20\;,\]
dont le discriminant est :
\[
\Delta=(-10)^2-4\times1\times20=100-80=20.
\]
Les deux racines sont donc :
\[
R_1=\dfrac{10-\sqrt{20}}{2}=5-\sqrt{5}\qquad\text{et}\qquad R_2=5+\sqrt{5}.
\]

\item On a d'une part :
\[
R=\dfrac{R_1R_2}{r}\Longleftrightarrow1=\dfrac{R_1R_2}{4}\Longleftrightarrow P=R_1R_2=4
\]
et d'autre part $S=R_1+R_2=4$.

Le trinôme $x^2-Sx+P=x^2-4x+4$ a pour discriminant :
\[
\Delta=(-4)^2-4\times1\times4=0.
\]
On peut donc dire que $R_1=R_2=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{4}{4}=1$.

\item Nous l'avons vu, on ne peut calculer $R_1$ et $R_2$ que lorsque le discriminant de $x^2-Sx+P$ est supérieur ou égal à 0, soit lorsque :
\[ S^2-4P\geqslant0\]
donc :
\[
r^2-4rR\geqslant0
\]
ou encore :
\[
r(r-4R)\geqslant0.
\]
Or, $r\neq0$ donc cette dernière inéquation donne, en simplifiant par $r$ :
\[ r\geqslant4R.\]
\end{enumerate}
