
Notons $x$ et $y$ les deux nombres. On sait alors d'après l'énoncé que :
\[
\begin{cases}
x-y=7\\
xy-(x+y)=43
\end{cases}
\]
La première équation nous donne :
\[ 
x=7+y
\]
donc en remplaçant $x$ par cette dernière expression dans la seconde équation, on a :
\begin{align*}
(7+y)y-(7+y+y)=43 
& \iff 7y+y^2-7-2y=43\\
& \iff y^2+5y-50=0.
\end{align*}
Le discriminant de $y^2+5y-50$ est :
\[
\Delta = 5^2-4\times(-50)=25+200=225=15^2
\]
donc deux valeurs sont possibles pour $y$ :
\[
y_1=\dfrac{-5-15}{2}=-10\qquad\text{et}\qquad y_2=\dfrac{-5+15}{2}=5.
\]
Or, $y\in\N$ donc $y\neq-10$ ; seule $y=5$ est une valeur possible. 

On en déduit alors que $x=7+y=7+5=12$.

\medskip

\uline{Les deux nombres sont donc 5 et 12.}
