
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=1]
\draw[->] (0,0) -- (10,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,2.5);
\draw[thick,red,->] (0,0) -- (1,0) node[midway,below] {$\vv{\imath}$};
\draw[thick,red,->] (0,0) -- (0,2) node[midway,left] {$\vv{\jmath}$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw[gray,very thick] (9,0) -- (9,1.8) node[above] {Filet};
\draw[->] (0,1) -- ($(0,1)+(20:1cm)$);
\draw[gray] (0,1) -- (1,1);
\draw[gray,dashed,->] (0.5,1) arc (0:20:0.5);
\node[gray,right,scale=0.5] at ($(0,1)+(10:0.5cm)$) {$20\degres$};
\draw[<->] (0,-0.5) -- (9,-0.5) node[midway,fill=pagecorrige!30] {9 m};
\shade[ball color=yellow] (0,1) circle (5pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

On convertit : $20$ km/h = $\dfrac{\numprint{20000}~\text{m}}{\numprint{3600}~\text{s}}\approx5,56~\rm{m\cdot s^{-1}}$.

En remplaçant les lettres dans la formule donnée, on a :
\[
y=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{9,81}{\left(5,56\times\cos20\degres\right)^2}x^2+x\tan20\degres+0,5\;,
\]
soit :
\[
y=-\numprint{0,179687471}x^2+\numprint{0,363970234}x+0,5.
\]

Le sommet de la parabole a pour abscisse :
\[
-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\numprint{0,363970234}}{2\times(-\numprint{0,179687471})}\approx1.
\]

Donc, au sommet de sa trajectoire, la balle n'aura pas encore atteint le filet.

\medskip

En prenant $x=9$, on obtient :
\[
y\approx-10,8
\]
ce qui signifie que la balle aura touché le sol avant 9 mètres.

Le joueur a donc perdu.

\medskip

Cherchons la vitesse minimale $v$ (en m$\cdot$s$^{-1}$) à donner à la balle lors de la frappe pour quelle franchisse le filet.

\medskip

La fonction définie par :
\[
f(x)=-\dfrac{\numprint{5,554786596}}{v^2}x^2+\numprint{0,363970234}x+0,5
\]

représente la hauteur (en mètre) de la balle en fonction de sa position $x$. 

On veut que $f(9)>0,914$, soit :
\[
-\dfrac{\numprint{5,554786596}}{v^2}\times 9^2+\numprint{0,363970234}\times9+0,5>0,914
\]
c'est-à-dire :
\begin{align*}
\dfrac{-449,955}{v^2}+2,862>0 & \Longrightarrow \dfrac{-449,955}{v^2}>-2,862\\
& \Longrightarrow \dfrac{1}{v^2}<\dfrac{-2,862}{-449,955}\\
& \Longrightarrow v^2>\dfrac{449,955}{2,862}\\
& \Longrightarrow v^2>157,217\\
& \Longrightarrow v>\sqrt{157,217}\\
& \Longleftarrow v>12,54
\end{align*}

La vitesse à donner doit donc être supérieure à 12,54 m$\cdot$s$^{-1}$ (soit à peu près 45 km/h).
