Une structure est schématisée ci-dessous. Une personne se met au point A et doit sauter afin d'arriver au point B. \textit{Toutes les unités sont exprimées en mètres.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
% structure
\draw[very thick] (10,0) -- (0,0) -- (0,5) -- (1,5) node[below] {A};
% point A
\fill (1,5) circle (2pt);
% Remplissage
\draw[very thick,pattern=dots] (0,0) -- ({10*cos(30)},{10*sin(30)}) -- ({10*cos(30)},0)--cycle;
% point B
\fill ({6.9*cos(30)},{6.9*sin(30)}) circle (2pt) node[above] {B};
% point O
\node[below left] at (0,0) {O};
% Flèche 5 mètres
\draw[<->,>=latex] (-1,0) -- (-1,5) node[midway,fill=white,rotate=90] {5};
% plongoir : 1 mètre
\draw[<->,>=latex] (0,5.5) -- (1,5.5) node[midway,fill=white] {1};
% distance OB = ?
\node[above,rotate=30] at ({3.5*cos(30)},{3.5*sin(30)}) {OB = ?};
% angle du bas
\draw[->,>=latex,very thick] (1.5,0) arc(0:30:1.5);
\node[right,fill=white] at (15:1.8) {$30^\circ$};
% point I et point J
\node[below] at ({10*cos(30)},0) {I};
\node[left] at (0,5) {J};
% marquage angle alpha
\draw[dashed] (1,5) -- (3,5);
\draw[->,>=latex,red] plot[domain=1:3] (\x,{2.7*sqrt(3)*(\x-1)/3+5});
\node[red,rotate=60,above] at (2,6.5) {$v_0=7$};
\draw[->,>=latex,red] (2,5) arc(0:60:1);
\node[right,red] at ({1+cos(30)},{5+sin(30)}) {$\alpha=60^\circ$};
% courbe
\draw[green!50!black,dotted] plot[domain=1:6] (\x,{(1/49)*(-20*\x*\x+(40+49*sqrt(3))*\x+225-49*sqrt(3))});
%\draw[red] plot[domain=0:10] (\x,{\x/sqrt(3)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

D'après les lois de la physique, si on se place dans le repère d'axes (OI) et (OJ) d'unités 1, la trajectoire de la personne est donnée par l'équation suivante:
\[
y = -\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2(\alpha)}(x-1)^2+\tan(\alpha)(x-1) + y_0\;
\]
où :
\begin{itemize}
\item $g$ est l'accélération de la pesanteur. Sur Terre, on considère que $g \approx 10$ m$\cdot$s$^{-2}$;
\item $v_0$ est la vitesse initiale à laquelle se lance la personne;
\item $\alpha$ est l'angle que forme la tangente à la parabole avec l'horizontale;
\item $y_0$ est la hauteur à partir de laquelle la personne se lance.
\end{itemize}

On cherche à déterminer la longueur OB.

\begin{enumerate}
\item Montrez que l'équation de la parabole représentant la trajectoire est:
\[
y=\frac{1}{49}\left[-20x^2 + \big( 40+49\sqrt3 \big)x + 225-49\sqrt3 \right].
\]

\item Justifiez que l'équation de la droite (OB) est:
\[
y=\dfrac{1}{\sqrt3}x.
\]

\item Montrez que l'abscisse du point B vérifie l'équation:
\[
-20\sqrt3x^2+\big(40\sqrt3+98\big)x+225\sqrt3-147=0
\]

\item En déduire une valeur approchée de l'abscisse de B, puis une valeur approchée de la longueur OB à $10^{-2}$ près. % xB = 6 et OB = 6,93.
\end{enumerate}

