
\begin{enumerate}
\item En posant $x=\sqrt{a}$ et $y=\sqrt{b}$, on a $a=x^2$ et $b=y^2$, et donc:
\begin{align*}
\begin{cases}
a\sqrt{a}+b\sqrt{b} &= 183\\
b\sqrt{a}+a\sqrt{b} &=182
\end{cases}
& \iff
\begin{cases}
x^2x+y^2y &= 183\\
y^2x+x^2y &=182
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
x^3+y^3 &= 183\\
yyx+xxy &=182
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
x^3+y^3 &= 183\\
y(xy)+x(xy) &=182
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
x^3+y^3 &= 183\\
xy(x+y) &=182
\end{cases}
\end{align*}

\item La forme développée de $(x+y)^3$ est:
\begin{align*}
(x+y)^3 & =(x+y)(x+y)^2\\
& = (x+y)(x^2+2xy+y^2)\\
& = x^3+2x^2y+xy^2+yx^2+2xy^2+y^3\\
\Aboxed{(x+y)^3 & = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}\\
& = (x^3+y^3) + 3(x^2y+xy^2)\\
& = (x^3+y^3)+3xy(x+y)\\
& = 183 + 3\times182\quad\text{d'après la question précédente}\\
& = 729\\
(x+y)^3& = 9^3.
\end{align*}
\underline{Ainsi, $x+y=9$.}

\bigskip

De l'égalité \og $xy(x+y)=182$ \fg{} et du fait que $x+y=9$, on déduit que $\boxed{xy=\dfrac{182}{9}}$.

\item On sait que si $S=x+y$ et $P=xy$ alors $x$ et $y$ sont racines du polynôme $X^2-SX+P$.

Ici, $S=9$ et $P=\dfrac{182}{9}$ donc $x$ et $y$ sont les racines de $X^2-9X+\dfrac{182}{9}$, dont le discriminant est:
\[
\Delta=(-9)^2-4\times\dfrac{182}{9}=\dfrac{1}{9}.
\]
Les racines sont alors égales à $x = \dfrac{182-\sqrt\Delta}{2}=\dfrac{13}{3}$ et $y = \dfrac{182+\sqrt\Delta}{2}=\dfrac{14}{3}$.

\bigskip

On en déduit alors que $a=x^2=\dfrac{169}{9}$ et $b=y^2=\dfrac{196}{9}$.

\vspace*{3em}~
\end{enumerate}
