On souhaite résoudre dans \R l'équation: $(E):\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} = \sqrt[3]{x-8}$.

On pose alors $t=x-8$ et on admet l'égalité suivante: $
(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$.

On précise que $\sqrt[3]{x}$ est le nombre réel $y$ tel que $y^3=x$.

\begin{enumerate}
\item Montrer l'équivalence suivante: $(E) \iff \sqrt[3]{t-8}+\sqrt[3]{t+8}=\sqrt[3]{t}$.
\item Montrer alors l'équivalence suivante: $(E) \iff 3\sqrt[3]{t(t^2-64)}=-t$.
\item En déduire l'équivalence suivante: $(E) \iff 7x^2 - 112x + 16= 0$.
\item En déduire les solutions de $(E)$.
\end{enumerate}
\vspace*{-1.5em}

