
\begin{enumerate}
\item $CM(q)=\dfrac{C(q)}{q} = \dfrac{q^3-2q^2+10q+150}{q} = q^2-2q+10+\dfrac{150}{q}$.

$C_m(q)=C'(q)=3q^2-4q+10$.

\item $CM'(q)=2q-2-\dfrac{150}{q^2}=\dfrac{2q^3-2q^2-150}{q^2}=\dfrac{2}{q^2}(q^3-q^2-75)$.

$\dfrac{2}{q^2}>0$ donc $CM'(q)$ est du signe du polynôme $P(q)=q^3-q^2-75$.

$P'(q)=3q^2-2q = q(3q-2)$ donc $q=0$ et $q=\dfrac{2}{3}$ sont les deux racines de $P$.

On en déduit le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$q$/0.75,$P'(q)$/0.5,$P(q)$/1.5}{$0$,$\frac{2}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/$-75$,-/{$\approx-75,1$},+/}
\tkzTabVal{2}{3}{0.5}{5}{25}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Intuitivement, comme il n'y a pas de valeurs interdites entre $\dfrac{1}{3}$ et 5, on peut supposer qu'il existe une valeur de $q$, notée $\alpha$, comprise entre $\dfrac{2}{3}$ et 5, telle que $P(\alpha)=0$. 

\begin{rem}
Vous verrez l'année prochaine une formulation plus adéquate ce ce qui vient d'être dit sur l'existence de $\alpha$; ce sera un théorème du cours.
\end{rem}

\newpage

On peut alors dresser le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20,espcl=1.5]{$q$/0.5,$CM'(q)$/0.5,$CM(q)$/1.5}{$0$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,-,z,+}
\tkzTabVar{D+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

À la calculatrice, on trouve une valeur approché de $\alpha$ :
\[ \alpha \approx 4,578. \]
Le coût moyen de production est donc minimal pour $\numprint{4578}$ kg de poudre fabriquée.

\medskip

Le coût minimal est alors $CM(\alpha)\approx54,57$ \euro, ce qui signifie qu'une tonne de poudre (de fée) coûte en moyenne 54,57 \euro{} à fabriquer si on en fabrique 4,578 tonnes.

\item Résolvons l'équation $CM(q)=C_m(q)$ à la calculatrice : on trouve $q\approx4,578$.

On constate que l'on obtient la valeur de $q$ pour laquelle le coût moyen est minimal.
\end{enumerate}
