Une entreprise fabrique et vend des radiateurs. 

Elle estime que le coût de production mensuel de $q$ radiateurs est donné par la fonction:
\[
C(q) = \numprint{10} + 0,1q + \dfrac{250}{q}\;, \text{exprimé en millier d'euros}.
\]
Le coût moyen de production est donné par la fonction:
\[
CM(q) = \dfrac{C(q)}{q},~ \text{exprimé en millier d'euros}.
\]
L'entreprise estime de plus que le nombre de radiateurs qu'elle peut fabriquer par mois est compris entre 10 et 100.

Le prix de vente d'un radiateur est fixé à 350 \euro. 

\begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée de $C(q)$ est:
\[
C'(q)=\dfrac{q^2-\numprint{2500}}{10q^2}.
\]


\item \'Etudier les variations de la fonction $C$, et en déduire le nombre de radiateurs que l'entreprise peut fabriquer pour que son coût de production soit minimal.

On notera $q_0$ cette quantité.

\item Montrer que la dérivée de $CM(q)$ est:
\[
CM'(q)=-\dfrac{10q+500}{q^3}.
\]

\item Pour quelle quantité $q$ de radiateurs fabriqués le coût moyen de production est-il minimal ? Comparer cette quantité à $q_0$.

\item On note $B(q)$ le bénéfice, exprimé en millier d'euros, engendré par la vente de $q$ radiateurs.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $B(q)=0,25q-10-\dfrac{250}{q}$.
\item Calculer $B(q_0)$ et $B(100)$.

Quelle quantité de radiateurs cette entreprise doit-elle fabriquer pour avoir un bénéfice maximal ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

