
\begin{enumerate}
\item Posons $x=AM$ et $y=AP$.

$(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles et coupent donc la droite $(BC)$ suivant deux angles de même mesure; donc $\angle{PBN}=\angle{MNC}$.

De même, $\angle{PNB}=\angle{MCN}$.

On peut alors conclure que les triangles $PNB$ et $MCN$ sont semblables;

par conséquent, 
\[
\dfrac{PN}{MC}=\dfrac{PB}{MN}
\]
soit:
\[ 
\dfrac{x}{3}=\dfrac{4}{y}
\]
d'où:
\[
xy=12.
\]
Or, $xy$ représente l'aire du rectangle $AMNP$; \underline{donc cette aire est égale à 12}.

\item Notons $f(x)$ l'aire du triangle $ABC$. Alors,
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{1}{2}\times AB \times AC\\
& = \dfrac{1}{2}\times(y+4) \times (x+3)\\
& = \dfrac{1}{2}(xy+3y+4x+12)\\
& = \dfrac{1}{2}(12 + 3y + 4x + 12)\\
& = \dfrac{1}{2}(24 + 3y + 4x).
\end{align*}
Or, $xy=12$ donc $y=\frac{12}{x}$. Ainsi, on a:
\begin{align*}
f(x) &=\dfrac{1}{2}\left(24+3\times\dfrac{12}{x}+4x\right)\\
& = 12 + \dfrac{18}{x}+2x.
\end{align*}
La dérivée de $f(x)$ est donc:
\[
f'(x)=2-\dfrac{18}{x^2}=\dfrac{2x^2-18}{x^2}.
\]
$x^2 > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2x^2-18=2(x^2-9)=2(x-3)(x+3)$.

D'où le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{0,3,4}
\tkzTabLine{d,-,z,+}
\tkzTabVar{D+/,-/24,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, l'aire du triangle $ABC$ est minimale lorsque $AM=3$ et donc $AN=\frac{18}{3}=6$.
\end{enumerate}
\vspace*{2cm}
