
\begin{enumerate}
\item Dans le triangle BOS rectangle en O, d'après le théorème de Pythagore, 
\[
\text{SB}^2=\text{SO}^2+\text{OB}^2\;,
\]
donc :
\[
\boxed{\text{SB}=\sqrt{109}}
\]

\item (O'M) // (OB) donc le théorème de Thalès nous permet d'écrire :

\[
\thales{SO'}{SO}{SM}{SB}{O'M}{OB}\;,
\]
soit :
\[
\dfrac{\rm{SO'}}{10}=\dfrac{\sqrt{109}-x}{\sqrt{109}}=\dfrac{\rm{O'M}}{3}\;,
\]
On peut donc dire d'une part que :
\[
\boxed{\text{O'M}=\dfrac{3\big(\sqrt{109}-x\big)}{\sqrt{109}}}\qquad\text{(rayon de la base du c\^one)}
\]
et d'autre part :
\[
\text{SO'}=\dfrac{10\big(\sqrt{109}-x\big)}{\sqrt{109}}
\]
donc la hauteur du c\^one est :

\begin{align*}
h(x) & =10-\dfrac{10\big(\sqrt{109}-x\big)}{\sqrt{109}}\\
& = \dfrac{10\sqrt{109}-10\sqrt{109}+10x}{\sqrt{109}}\\
\Aboxed{h(x) & = \dfrac{10}{\sqrt{109}}x}
\end{align*}

\item Le volume d'un c\^one est donné par la formule :
\[
V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h
\]
donc :
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{1}{3}\pi\left(\dfrac{3\big(\sqrt{109}-x\big)}{\sqrt{109}}\right)^2\times \dfrac{10}{\sqrt{109}}x\\
\Aboxed{f(x) & = \dfrac{30\pi}{109\sqrt{109}}x\big(\sqrt{109}-x\big)^2}
\end{align*}

\item Optimiser $f(x)$ équivaut à optimiser la fonction $g$ définie par :
\begin{align*}
g(x) & =x\big(\sqrt{109}-x\big)^2=\\
& = x(109-2\sqrt{109}x+x^2)\\
& = x^3-2\sqrt{109}x^2+109x.
\end{align*}

On a :
\[
g'(x)=3x^2-4\sqrt{109}x+109.
\]

Le discriminant de $g'(x)$ est :
\[
\Delta=\big(4\sqrt{109}\big)^2-4\times3\times109=436=\big(2\sqrt{109}\big)^2.
\]
Donc ses racines sont :
\[
\alpha=\dfrac{4\sqrt{109}-2\sqrt{109}}{6}=\dfrac{\sqrt{109}}{3}
\]
et
\[
\beta=\dfrac{4\sqrt{109}+2\sqrt{109}}{6}=\sqrt{109}.
\]

On a alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.5,$g'(x)$/0.5,$g(x)$/1}{0,$\alpha$,$\sqrt{109}$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z}
\tkzTabVar{-/0,+/,-/0}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\underline{Ainsi, le volume est optimal lorsque M est au tiers de [SB] en partant de B.}
\end{enumerate}
