Dans cet exercice, les distances sont exprimées en mètres.

On considère un rectangle $ABCD$ d'aire 49 m$^2$ tel que $DC=x$ et $BC=y$.

On admet que les nombres $x$ et $y$ sont strictement positifs.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (6,0) node[below right] {B} -- (6,4) node[above right] {C} -- (0,4) node[above left] {D} -- cycle;
\draw[<->,>=latex] (6.5,0) -- (6.5,4) node[midway,fill=pageenonce!30] {$y$};
\draw[<->,>=latex] (0,4.5) -- (6,4.5) node[midway,fill=pageenonce!30] {$x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On souhaite déterminer les dimensions $x$ et $y$ pour que le périmètre de ce rectangle soit minimal.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le périmètre, en mètres, du rectangle $ABCD$ est égal à $2x+\dfrac{98}{x}$.
\item Calculer ce périmètre pour $x=10$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

Soit $f$ la fonction définie sur \intervOO{0}{+\infty} par $f(x)=2x+\dfrac{98}{x}$. 

\medskip

On admet que $f$ est dérivable sur \intervOO{0}{+\infty} et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\bigskip

\begin{enumerate}[start=2]
\item Montrer que, pour tout $x > 0$, $f'(x)=\dfrac{2x^2-98}{x^2}$.

\item Déterminer le tableau de variations de la fonction $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.

\item En déduire les dimensions du rectangle d'aire 49 m$^2$ dont le périmètre est minimal.
\end{enumerate}

