
\begin{enumerate}
\item $f(x)=(3x+2)\sqrt{x}$. 

\begin{itemize}
\item Le domaine de définition de $f$ est : $\mathcal{D}_f=\intervFO{0}{+\infty}$.

\item $f$ est de la forme $uv$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=3x+2$

$u'(x)=3$

\columnbreak

$v(x)=\sqrt{x}$

$v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
\end{multicols}

Donc :
\begin{align*}
f'(x) & = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\
& = 3\sqrt{x}+(3x+2)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
& = 3\sqrt{x}+\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x}}\\
& = \dfrac{3\sqrt{x}\times2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x}}\\
& = \dfrac{6x+3x+2}{2\sqrt{x}}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{9x+2}{2\sqrt{x}}}
\end{align*}

\item $f'(x)>0  \Longleftrightarrow 9x+2>0$ car $2\sqrt{x}>0$ pour tout $x\in\intervOO{0}{+\infty}$.

Ainsi, $f'(x)>0 \Longleftrightarrow x>-\dfrac{2}{9}$, d'où le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{0,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+}
\tkzTabVar{-/0,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item D'après le tableau de variation de $f$, on peut dire que $f(x)\geqslant0$ sur \intervFO{0}{+\infty}.
\end{itemize}

\item $g(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\sqrt{x}$.

\begin{itemize}
\item Le domaine de définition de $g$ est $\mathcal{D}_g=\intervOO{0}{+\infty}$.

\item $g$ est de la forme $uv$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=1+\dfrac{1}{x}$

$u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$

\columnbreak

$v(x)=\sqrt{x}$

$v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
\end{multicols}

Donc :
\begin{align*}
g'(x) & = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\
& = -\dfrac{1}{x^2}\sqrt{x}+\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
& = -\dfrac{\sqrt{x}}{x^2}+\dfrac{x+1}{x}\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\
& = -\dfrac{\cancel{\sqrt{x}}}{x\times\sqrt{x}\times\cancel{\sqrt{x}}}+\dfrac{x+1}{2x\sqrt{x}}\\
& = -\dfrac{1}{x\sqrt{x}}+\dfrac{x+1}{2x\sqrt{x}}\\
\Aboxed{g'(x) & = \dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}}
\end{align*}

\item $g'(x)>0 \Longleftrightarrow x-1>0 \Longleftrightarrow x>1$ car $2x\sqrt{x}>0$ sur $\mathcal{D}_g$.

On a alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=numpagecorrige!20,colorV=numpagecorrige!20,colorL=numpagecorrige!20]{$x$/0.75,$g'(x)$/0.5,$g(x)$/1}{0,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,-,z,+}
\tkzTabVar{D+/,-/2,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}

\end{center}

\item D'après le tableau de variations de $g$, on peut dire que $g(x)\geqslant2$ sur \intervOO{0}{+\infty}, donc\linebreak $g(x)>0$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\end{itemize}
\end{enumerate}
