
\begin{enumerate}
\item Par définition, $c_{n+1}=\dfrac{1}{2}c_n$ pour $n\geqslant1$, avec $c_1=10$.

De plus, $\ell_{n+1}=\dfrac{2\pi c_{n+1}}{4}=\dfrac{\pi}{2}c_{n+1}$ (longueur d'un quart de cercle de rayon $c_{n+1}$).

Ainsi, 
\vspace*{-1.2em}
\begin{align*}
\ell_{n+1}& =\dfrac{\pi}{2}\times \dfrac{1}{2}c_n\\
& =\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{\pi}{2}c_n\right)\\
& = \dfrac{1}{2}\ell_n.
\end{align*}

Ainsi, \suite{\ell}{n}{} est géométrique. Son premier terme est $
\ell_1 = \dfrac{\pi}{2}\times c_1 = \dfrac{\pi}{2}\times10 = 5\pi$
et sa raison est $q=\dfrac{1}{2}$.

\item La longueur totale de la spirale formée avec 10 carrés est:
\begin{align*}
\ell_1 + \ell_2 + \cdots + \ell_{10}& = \ell_1 \times \dfrac{1-q^{10}}{1-q}\\
& = 5\pi \times \dfrac{1-\tfrac{1}{2^{10}}}{1-\tfrac{1}{2}}\\
& = 5\pi \times \left(1-\frac{1}{2^{10}} \right) \times 2\\
& = 10\pi\left(1-\frac{1}{2^{10}}\right)\\
& = 10\pi\left(1 - \frac{1}{\numprint{1024}}\right)\\
& = \frac{\numprint{5115}\pi}{512}\qquad\text{(valeur exacte)}\\
& \approx 31,4\text{ cm}\qquad\text{(valeur approchée au mm près)}.
\end{align*}
\end{enumerate}
