
\begin{enumerate}
\item $u_{n+1}=3u_n$, $u_0=1$. On reconna\^it ici une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=qu_n$ donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $q=3$.

\item $u_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}$, $u_0=1$. Pour tout $n\geqslant0$, on a :
\[
u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{u_n}-u_n=\dfrac{1-u_n^2}{u_n}\neq \text{c}^\text{te}\text{ (constante)}.
\]
Donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est pas arithmétique.

\medskip

\[ 
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{u_n^2}\neq\text{c}^\text{te}.
\]

Donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est pas géométrique.

\item $u_n=2u_{n-1}$, $u_0=1$. On reconna\^it ici une relation de récurrence de la forme $u_{n}=qu_{n-1}$ donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $q=2$.

\item $u_{n+1}=u_n-\pi$, $u_0=2\pi$. On reconna\^it ici une relation de récurrence de la forme\linebreak $u_{n+1}=u_n+r$ donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite arithmétique de raison $r=\pi$.

\item $u_{n+1}=3(u_n-1)-2(u_n+1)=u_n-5$. On reconna\^it ici une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=u_n+r$ donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $r=-5$.

\item $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}=\dfrac{1}{2}u_{n-1}$. On reconna\^it ici une relation de récurrence de la forme\linebreak $u_{n}=qu_{n-1}$ donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.

\item $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$, $u_0=2$. Pour tout entier naturel $n$, on a :
\[ u_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n}-\big(\sqrt{u_n}\big)^2=\sqrt{u_n}\big(1-\sqrt{u_n}\big)\neq\text{c}^\text{te}.
\]

Donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est pas arithmétique.

\medskip

\[ \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\sqrt{u_n}}{u_n}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}}\neq\text{c}^\text{te}.
\]

Donc \suite{u}{n}{n\geqslant0} n'est pas géométrique.

\item $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$, $u_0=1$. La relation de récurrence de cette suite est la m\^eme que dans la question précédente. Cependant, le premier terme change. 

On a ici : $u_0=1$, $u_1=\sqrt{1}=1$, etc.

Ainsi, \suite{u}{n}{} est constante. On peut alors dire qu'elle est arithmétique (de raison $r=0$) et géométrique (de raison $q=1$).
\end{enumerate}
\vspace*{3cm}
