
\medskip

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item $c_0=3$, $c_1=12$, $\ell_1 = \dfrac{1}{3}$, $p_0=3$ et $p_1=12\times\dfrac{1}{3}=4$.
\item \begin{itemize}
\item $\suite{\ell}{n}{}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$. En effet,; à chaque étape, un segment est divisé en 3 donc sa longueur est divisée en 3 : $\ell_{n+1}=\dfrac{1}{3}\ell_n$.
\item $\suite{c}{n}{}$ est une suite géométrique de raison 4. En effet, si on prend un segment quelconque, on le partage en 3 puis on construit un triangle équilatéral \og au milieu \fg, ce qui génère 2 segments (au milieu) et deux autres aux extrémités, donc 4 en tout. Le nombre de côtés à l'étape $n+1$ sera donc égal à 4 fois celui à l'étape $n$ : $c_{n+1}=4c_n$.
\end{itemize}

\item 
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
p_n & = c_n \times \ell_n\\
    & = \left( c_0 \times 4^n \right) \times \left[ \ell_0 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n \right]\\
    & = 3 \times 4^n \times 1 \times \dfrac{1}{3^n}\\
    & = 3 \times \left(\dfrac{4}{3}\right)^n.
\end{aligned}$

\item On déduit de ce dernier résultat que $\suite{p}{n}{}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{4}{3}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item $a_0$ représente l'aire du triangle équilatéral de côté 1. Sa hauteur $h$ est égale, d'après le théorème de Pythagore, à:
\[
h = \sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt3}{2}.
\]
Ainsi, son aire est:
\[
a_0 = \dfrac{1}{2}\times b \times h = \dfrac{1}{2}\times1\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{4}.
\]

\item À l'étape $n+1$, on ajoute $c_n$ triangles équilatéraux dont les côtés sont égaux à $\dfrac{1}{3}\ell_n$.

Ces triangles équilatéraux sont donc des réductions de facteur $\dfrac{1}{3}$ des triangles ajoutés à l'étape $n$. Leur aire est donc égale à $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \times a_n$. D'où:
\[
a_{n+1} = \dfrac{1}{9}a_n.
\]


\item La suite $\suite{a}{n}{}$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{9}$.

\medskip

L'aire totale de la figure à l'étape $n$ est, pour $n > 0$:
\begin{align*}
& a_0 + c_0\times a_1 + c_1 \times a_2 + \cdots + c_{n-1} \times a_n\\
=\ & a_0 + \sum_{k=1}^n a_k \times c_{k-1}\\
\end{align*}

\begin{align*}
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4} + \sum_{k=1}^{n} \left(a_0\times\dfrac{1}{9^k}\right)\times \left(c_0\times 4^{k-1}\right)\\
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac{\sqrt3}{4}\times3\sum_{k=1}^n\dfrac{4^{k-1}}{9^k}\\
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac{\sqrt3}{4}\times3\sum_{k=1}^n\dfrac{4^{k-1}}{9^{k-1}}\times\dfrac{1}{9}\\
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac{\sqrt3}{4}\times\dfrac{1}{3}\sum_{k=1}^n\dfrac{4^{k-1}}{9^{k-1}}\\
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac{\sqrt3}{4}\times\dfrac{1}{3}\sum_{p=0}^{n-1}\dfrac{4^{p}}{9^{p}}\qquad\text{en posant }p=k-1\\
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac{\sqrt3}{12}\times\dfrac{1-\left(\frac{4}{9}\right)^n}{1-\frac{4}{9}}\\
=\ & \dfrac{\sqrt3}{4}+\dfrac{9}{5}\times\dfrac{\sqrt3}{12}\times\left[1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n \right]\\
=\ & \dfrac{2\sqrt3}{5}\left[1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n \right].
\end{align*}
\end{enumerate}
