Le \textit{flocon de Von Koch} est une figure construire à partir d'un triangle équilatéral de côté\linebreak $\ell_0 = 1$.

\medskip

À chaque étape, on découpe en trois parties égales les segments de la figure précédente comme l'illustre le schéma ci-dessous:

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
    \begin{tikzpicture}
    \draw [l-system={rule set={F -> F-F++F-F}, step=81pt, angle=60,axiom=F++F++F, order=0}]
     lindenmayer system -- cycle;
    \end{tikzpicture}
     &
    \begin{tikzpicture}[baseline]
    \draw [l-system={rule set={F -> F-F++F-F}, step=27pt, angle=60,axiom=F++F++F, order=1}]
     lindenmayer system -- cycle;
    \end{tikzpicture}
     &
     \begin{tikzpicture}[baseline]
    \draw [l-system={rule set={F -> F-F++F-F}, step=9pt, angle=60,axiom=F++F++F, order=2}]
     lindenmayer system -- cycle;
    \end{tikzpicture}
     &
     \begin{tikzpicture}[baseline]
    \draw [l-system={rule set={F -> F-F++F-F}, step=3pt, angle=60,axiom=F++F++F, order=3}]
     lindenmayer system -- cycle;
    \end{tikzpicture}
      \\
      Étape 0 & Étape 1 & Étape 2 & Étape 3
    \end{tabular}
\end{center}
    
\medskip
    
On note:
\begin{itemize}
\item $\ell_n$ la longueur d'un segment de la figure à l'étape $n$;
\item $c_n$ le nombre de segments de la figure à l'étape $n$;
\item $p_n$ le périmètre de la figure à l'étape $n$.
\end{itemize}

\bigskip

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item Que valent $\ell_1$, $c_0$, $c_1$, $p_0$, $p_1$ ?
\item Quelle est la nature des suites $\suite{\ell}{n}{}$ et $\suite{c}{n}{}$ ?
\item 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $p_n$ en fonction de $\ell_n$ et $c_n$, puis en fonction de $n$.

\item Quelle est la nature de $\suite{p}{n}{}$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B}

On considère dans cette partie la suite $\suite{a}{n}{}$, où $a_n$ est l'aire d'un triangle équilatéral que l'on ajoute à la figure à l'étape $n$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire du premier triangle (à l'étape 0) est $a_0=\dfrac{\sqrt3}{4}$.
\item Justifier que $a_{n+1} = \dfrac{1}{9}a_n$.
\item Exprimer alors en fonction de $n$ l'aire de la figure à l'étape $n$.
\end{enumerate}

