
\begin{enumerate}
\item $u_1=\dfrac{1}{3}u_0+3=\dfrac{1}{3}\times1+3=\dfrac{10}{3}$.

$u_2=\dfrac{1}{3}u_1+3=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{10}{3}+3=\dfrac{10}{9}+\dfrac{27}{9}=\dfrac{37}{9}$.

\item \raisebox{-1em}{$\left.\begin{array}{l}
u_1-u_0=\dfrac{10}{3}-1=\dfrac{7}{3}\\[10pt]
u_2-u_1=\dfrac{37}{9}-\dfrac{10}{3}=\dfrac{7}{9}\neq u_1-u_0
\end{array}\right\rbrace\Longrightarrow\suite{u}{n}{n\geqslant0}\text{ n'est pas arithmétique.}$}

\medskip

$\left.\begin{array}{l}
\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{\frac{10}{3}}{\frac{7}{3}}=\dfrac{10}{3}\times\dfrac{3}{7}=\dfrac{10}{7}\\[15pt]
\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{37}{9}\times\dfrac{3}{10}=\dfrac{37}{30}\neq\dfrac{u_1}{u_0}
\end{array}\right\rbrace\Longrightarrow\suite{u}{n}{n\geqslant0}\text{ n'est pas géométrique.}$

\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = \textcolor{red}{u_{n+1}}-\dfrac{9}{2}\\[8pt]
& = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}u_n+3}-\dfrac{9}{2}\\[8pt]
& = \dfrac{1}{3}u_n-\dfrac{3}{2}\\[8pt]
& = \dfrac{1}{3}\left(\textcolor{blue}{u_n-\dfrac{9}{2}}\right)\\[8pt]
\Aboxed{v_{n+1}& = \dfrac{1}{3}\textcolor{blue}{v_n}}
\end{aligned}$

Ainsi, \suite{v}{n}{n\geqslant0} vérifie une relation de récurrence de la forme $v_{n+1}=qv_n$ qui est significatif d'une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$. Son premier terme est :
\[ v_0=u_0-\dfrac{9}{2}=1-\dfrac{9}{2}=-\dfrac{7}{2}.\]

\item De la question précédente, on peut déduire que pour tout entier naturel $n$ :
\[ v_n=v_0\times q^n=-\dfrac{7}{2}\times\dfrac{1}{3^n}\]
et comme $v_n=u_n-\dfrac{9}{2}$, on a :
\[ u_n=v_n+\dfrac{9}{2}\]
soit :
\[ \boxed{u_n=-\dfrac{7}{2}\times\dfrac{1}{3^n}+\dfrac{9}{2}}\]

\item
\begin{enumerate}
\item On a le tableau suivant :

\begin{tabular}{|Sl|*5{Sc|}}
\hline
Condition $i<n$ & \cellcolor{numpagecorrige} & vraie : 0<3 & vraie : 1<3 & vraie : 2<3 & fausse\\
\hline
Valeurs de i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline
Valeurs de $u$ & 1 & $\frac 1 3 + 3 = \frac {10} 3$ & $\frac{10}9+3=\frac{37}{9}$ & $\frac{37}{27}+3=\frac{118}{81}$ & \cellcolor{numpagecorrige} \\
\hline
\end{tabular}
\item On voit qu'à chaque boucle, la fonction permet d'obtenir la valeur de $u_i$. On n'entre plus dans la boucle lorsque $i=n$ et la dernière valeur de $u$ calculée est alors $u_n$.

Ainsi, cette fonction permet de calculer $u_n$ pour un entier naturel $n$ donné en argument de la fonction.

\item On obtient $u_{10}\approx4,4999407272$, $u_{20}\approx4,499999999$ et $u_{30}\approx4,5$.

On peut alors conjecturer que $u_n$ se rapproche de plus en plus de 4,5 au fur et à mesure que $n$ prend des valeurs de plus en plus grandes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
