On considère la suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+3
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item \suite{u}{n}{n\geqslant0} est-elle une suite arithmétique ? Une suite géométrique ?
\end{enumerate}

\medskip

On considère la suite \suite{v}{n}{n\geqslant0} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[ v_n=u_n-\dfrac{9}{2} .\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer que \suite{v}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\newpage

\item On donne la fonction Python suivante:

\begin{python}
def suite(n):
    u = 1
    i = 0
    while i < n:
        i = i + 1
        u = u/3 + 3
    
    return u
\end{python}

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un tableau (par exemple), exécuter cette fonction pour $n=3$.
\item Que permet de faire cette fonction?
\item \`A l'aide de votre calculatrice, donner la valeur qu'affiche cette fonction pour $n=10$, $n=20$ et $n=30$.

Que peut-on conjecturer ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

