
\begin{enumerate}
\item On sait que:
\[
\begin{cases}
u_0=\numprint{10520}\\
u_1=\numprint{10694}=a \times\numprint{10520}+b\\
u_2=\numprint{10859}=a\times(a \times\numprint{10520}+b)+b=\numprint{10520}a^2+ab+b
\end{cases}
\]
On peut donc écrire:
\[
b=\numprint{10694}-\numprint{10520}a
\]
et remplacer $b$ par cette dernière expression dans la dernière égalité:
\begin{align*}
& \numprint{10520}a^2+a(\numprint{10694}-\numprint{10520}a)+(\numprint{10694}-\numprint{10520}a)=\numprint{10859}\\
\iff\ & 174a = 165\\
\iff\ & a = \dfrac{165}{174} \approx 0,95.
\end{align*}

Ainsi,
\[
b\approx\numprint{10694}-\numprint{10520}\times0,95\approx700.
\]

Finalement,
\[
\boxed{u_{n+1}=0,95u_n+700}
\]

\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
v_{n+1} & = u_{n+1} - \numprint{14000}\\
& = 0,95u_n+700-\numprint{14000}\\
& = 0,95u_n-\numprint{13300}\\
& = 0,95\left(u_n-\dfrac{\numprint{13300}}{0,95}\right)\\
& = 0,95(u_n-\numprint{14000})\\
& = 0,95v_n.
\end{align*}

Ainsi, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,95$ et de premier terme:
\[
v_0=u_0-\numprint{14000}=-\numprint{3480}.
\]

\item D'après le cours,
\[
v_n=v_0 \times q^n = - \numprint{3480} \times 0,95^n.
\]

Or, $v_n=u_n-\numprint{14000}$ donc:
\[
u_n=\numprint{14000}+v_n=\numprint{14000}-\numprint{3480}\times0,95^n.
\]

\item Le programme complété est le suivant:


\begin{python}
u = 10520
n = 2018
while u < 13500:
	n = n + 1
	u = 0.95 * u + 700

print(n)
\end{python}

\item On trouve à l'aide de la calculatrice que la population de ce village dépassera \numprint{13500} habitants en 2056.
\end{enumerate}
