Dans un village se trouvaient au 1\ier{} janvier 2018 \numprint{10 520} habitants.

Au 1\ier{} janvier 2019, il y en avaient \numprint{10694}. 

Au 1\ier{} janvier 2020, il y en avaient \numprint{10859}. 

Pour estimer le nombre d'habitants de ce village au 1\ier{} janvier $2018+n$, le maire souhaite utiliser une suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0=\numprint{10520}\\
u_{n+1}=au_n+b
\end{cases}
\]
où $a$ et $b$ sont deux nombre réels.

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données de l'énoncé, déterminer les valeurs de $a$ et $b$. On arrondira la valeur de $a$ à $10^{-2}$ près et celle de $b$ à l'entier près.
\end{enumerate}

Pour tout entier naturel $n$, on pose: $v_n=u_n-\numprint{14000}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis que pour tout entier naturel $n$,
\[
u_n=\numprint{14000}-\numprint{3480}\times 0,95^n.
\]
\end{enumerate}

On peut raisonnablement supposer qu'à longs termes, le nombre d'habitants de ce village se rapprochera de \numprint{14000}.

Pour savoir à partir de quelle année le nombre d'habitants dépassera \numprint{13500}, le maire a écrit un programme Python:

\begin{python}
u = ...
n = ...
while u ...:
	n = n + 1
	u = ...
print(n)
\end{python}


\begin{enumerate}[resume]
\item Compléter ce programme afin qu'il affiche la première année à partir de laquelle le nombre d'habitants est supérieure ou égale à \numprint{13500}.

\item À l'aide de votre calculatrice, déterminer cette valeur.
\end{enumerate}
\vspace*{-1.5em}

