On considère les suites \suite{u}{n}{} et \suite{v}{n}{} définies par :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=0,55u_n+0,35v_n
\end{array}
\right.
\qquad\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
v_0=0\\
v_{n+1}=0,45u_n+0,65v_n
\end{array}
\right.
\]

\begin{enumerate}
\item Soient deux nombres réels non nuls $a$ et $b$ tels que la suite \suite{w}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par $w_{n}=au_n+bv_n$ soit géométrique de raison notée $q$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on a :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
0,55a+0,45b=qa\\
0,35a+0,65b=bq
\end{array}
\right.
\]
\item En déduire que $a=\dfrac{q-0,65}{0,35}b$ et $b=\dfrac{q-0,55}{0,45}a$.
\item Montrer alors que $q$ est solution de l'équation $q^2-1,2q+0,2=0$.
\item Trouver alors les deux valeurs de $q$ possibles, notées $q_1$ et $q_2$, avec $q_1<q_2$, puis les valeurs possibles de $a$ et $b$ pour chacune de ces deux valeurs de $q$.
\end{enumerate}


\item On pose alors $c_n=u_n+v_n$ et $g_n=9u_n-7v_n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que ces deux suites vérifient les conditions de la suite \suite{w}{n}{}.
\item En déduire une expression de $c_n$ et $g_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire une expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

