
\begin{enumerate}
\item $u_n=3+2n$.

La fonction $x\mapsto3+2x$ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=3$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=2$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est :\[ \begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=u_n+2\end{cases}\]

\item $u_n=-3n + 4$.

La fonction $x\mapsto-3x+4$ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=4$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=-3$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est : \[ \begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=u_n-3\end{cases}\]

\newpage
\item $u_n=2n^2-1$.

La fonction $x\mapsto2x^2-3$ n'est pas une fonction affine, donc $f(n)=u_n$ n'est pas une suite arithmétique.

\textbf{Autre méthode:} $u_0=-1$, $u_1=1$ et $u_2=7$.

Ainsi, $u_1-u_0=2$ et $u_2-u_1=6 \neq u_1-u_0$ donc la suite n'est pas arithmétique.

\item $u_n=3(n-2)-2(n+1)$.

On peut écrire : $u_n=3n-6-2n-2=n-8$. La fonction $x\mapsto x-8$ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=-8$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=1$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est : \[ \begin{cases}u_0=-8\\u_{n+1}=u_n+1\end{cases}\]

\item $u_n=\dfrac{5n+7}{2}$.

On peut écrire : $u_n=\dfrac{5n}{2}+\dfrac{7}{2}=\dfrac{5}{2}n+\frac{7}{2}$.

La fonction $x\mapsto\dfrac{5}{2}x+\dfrac{7}{2}$ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=\dfrac{7}{2}$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=\dfrac{5}{2}$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est : \[ \begin{cases}u_0=\frac{7}{2}\\u_{n+1}=u_n+\frac{5}{2}\end{cases}\]

\item $u_n=n\sqrt5$.

La fonction $x\mapsto x\sqrt5$ est une fonction affine (même linéaire) donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=0$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=\sqrt5$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est : \[ \begin{cases}u_0=0\\u_{n+1}=u_n+\sqrt5\end{cases}\]

\item $u_n=3-n\sqrt2$.

La fonction $x\mapsto3-x\sqrt2 $ est une fonction affine donc $f(n)=u_n$ est une suite arithmétique. Son premier terme est $u_0=f(0)=3$ et sa raison $r$ est le coefficient de $n$, donc ici $r=-\sqrt2$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est : \[ \begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=u_n-\sqrt2\end{cases}\]

\item $u_n=7-\dfrac{3}{n+2}$.

$u_0=7-\dfrac{3}{0+2}=\dfrac{11}{2}$.

$u_1=7-\dfrac{3}{1+2} = 6$.

$u_2=7-\dfrac{3}{2+2}=\dfrac{25}{4}$.

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Ainsi, $u_1-u_0=\dfrac{1}{2}$  et $u_2-u_1=\dfrac{1}{4}\neq u_1-u_0$ donc \suite{u}{n}{} n'est pas une suite arithmétique.

\item $u_n=3$.

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=3-3=0$, qui est un nombre constant, donc \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique de raison $r=0$ et de premier terme $u_0=3$.

Dans ce cas, la relation de récurrence de \suite{u}{n}{} est : \[ \begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=u_n\end{cases}\]
\end{enumerate}
