
\begin{enumerate}
\item $\begin{cases}
u_0=-1\\
u_{n+1}=u_n-\sqrt2
\end{cases}$. D'après cette définition, pour tout entier naturel $n$, 
\[ u_{n+1}-u_n=(u_n-\sqrt2)-u_n=-\sqrt2.\]
La différence entre deux termes consécutifs quelconque est donc toujours la même; par conséquent, \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique, ici de raison $r=-\sqrt2$.

\medskip

D'après le cours, son terme général est :
\[
u_n= u_0+nr = -1-n\sqrt2.
\]

\item  $\begin{cases}
u_0=-1\\
u_{n+1}=2u_n+1
\end{cases}$. D'après cette définition, pour tout entier naturel $n$, 
\[ u_{n+1}-u_n=(2u_n+1)-u_n=u_n+1.\]
La différence entre deux termes consécutifs quelconque n'est donc pas toujours la même; par conséquent, \suite{u}{n}{} n'est pas une suite arithmétique.


\item  $\begin{cases}
u_0=-1\\
u_{n+1}=u_n^2+3
\end{cases}$. D'après cette définition, pour tout entier naturel $n$, 
\[ u_{n+1}-u_n=(u_n^2+3)-u_n=u_n^2-u_n+3.\]
La différence entre deux termes consécutifs quelconque n'est donc pas toujours la même; par conséquent, \suite{u}{n}{} n'est pas une suite arithmétique.


\item  $\begin{cases}
u_1=-1\\
u_{n+1}=u_n+2
\end{cases}$. D'après cette définition, pour tout entier naturel $n$, 
\[ u_{n+1}-u_n=(u_n+2)-u_n=2.\]
La différence entre deux termes consécutifs quelconque est donc toujours la même; par conséquent, \suite{u}{n}{} est une suite arithmétique, ici de raison $r=-2$.

\medskip

D'après le cours, son terme général est :
\[
u_n= u_1+(n-1)r = -1+(n-1)\times(-2)=-1-2n+2=1-2n.
\]
\begin{attention}
Ici, la suite commence à $u_1$ et non $u_0$; il faut donc utiliser la formule explicite générale:
\[
u_n = u_p + (n-p)r.
\]
\end{attention}
\end{enumerate}
