
\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=2-\e^{-x}$.

Ainsi, $f'=u'v+uv'$ avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=\e^{-x}$.

D'où :
\[
\begin{aligned}
f'(x) & = 2-\e^{-x}+(x-1)\e^{-1}\\
& = 2-\e^{-x}+x\e^{-x}-\e^{-x}\\
\Aboxed{f'(x) & = x\e^{-x} + 2(1-\e^{-x})}
\end{aligned}
\]

\item Si $x>0$, alors $\e^{-x}>1$ et $1-\e^{-x}>0$.

De plus, $x\e^{-x}>0$ donc, par somme de termes positifs, $f'(x)>0$.

\item $f'(0)=0$.  

De la question précédente, on déduit que \underline{$f$ est strictement croissante sur \intervFO{0}{+\infty}}.
\end{enumerate}
