Soit $g$ la fonction définie sur $\R*_+$ par :
\[
g(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}-x+1.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $g'(x)=-\dfrac{4x^2+2x\sqrt{x}+\sqrt{x}}{4x^2}$.
\item En déduire le sens de variation de $g$.
\item Calculer $g\left(\frac{1}{4}\right)$ et $g(1)$.\\
Que peut-on intuitivement supposer quand au nombre de solutions de l'équation $g(x)=0$ sur $\intervFF{\frac{1}{4}}{1}$ ? On admettra ce résultat, et on notera $\alpha$ cette solution.
\end{enumerate}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R*_+$ par:
\[
f(x)=(x+\sqrt{x})\e^{-x}.
\]
\begin{enumerate}[start=4]
\item Montrer que $f'(x)=g(x)\e^{-x}$.
\item En déduire les variations de $f$ en fonction de $\alpha$.
\end{enumerate}

