
\begin{enumerate}
\item $f'(1)$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=1$; il est égal au coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1, donc en A: c'est (AC).

Il est donc égal à :
\begin{align*}
f'(1) & = \dfrac{y_A-y_C}{x_A-x_C}\\
& = \dfrac{2-0}{0-(-2)}\\
\Aboxed{f'(1) & = 1}
\end{align*}

\item D'après la question précédente, 
\[
(AC)\;:\; y=x+p
\]
où $p$ est l'ordonnée du point d'intersection de (AC) avec l'axe des ordonnées, donc l'ordonnée du point A, à savoir 2. Ainsi,
\[
\boxed{(AC)\;:\;y=x+2}
\]

\item $f$ est de la forme $uv$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=2-x$\\
$u'(x)=-1$

\columnbreak

$v(x)=\e^x$\\
$v'(x)=\e^x$
\end{multicols}

Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\\
& = -1 \times \e^x + (2-x)\e^x\\
& = (-1+2-x)\e^x\\
\Aboxed{f'(x) & = (-x+1)\e^x}
\end{align*}

\item Pour tout rel $x$, $\e^x>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $(-x+1)$, d'où le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1.5}{$-10$,$1$,$2$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $B$, d'abscisse 2, est:
\[
y = f'(2)(x-2)+f(2)
\]
Or,
\begin{align*}
f'(2) & = (-2+1)\e^2\\
& = -\e^2
\end{align*}
et
\begin{align*}
f(2) & = (2-2)\e^2\\
& = 0.
\end{align*}
Ainsi, l'équation réduite est:
\[
y = -\e^2(x-2)
\]
soit:
\[
\boxed{-\e^2x+2\e^2}
\]
\end{enumerate}
