
\begin{enumerate}
\item La dérivée de $x \mapsto 1$ est nulle donc la dérivée de $f(x)$ est celle de $x \mapsto -\dfrac{1}{2}(x^2-2x+2)\e^{-x}$, fonction produit de la forme $u \times v$ avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=-\dfrac{1}{2}(x^2-2x+2)$

$u'(x)=-\dfrac{1}{2}(2x-2)=-x+1$

$v(x)=\e^{-x}$

$v'(x)=-\e^{-x}$
\end{multicols}

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\
& = (-x+1)\e^{-x} -\dfrac{1}{2}(x^2-2x+2)\big(-\e^{-x}\big)\\
& = \left[ (-x+1) - \dfrac{1}{2}(-1)(x^2-2x+2) \right] \e^{-x}\\
& = \left(-x+1+\dfrac{1}{2}x^2-x+1\right)\e^{-x}\\
& = \left(\frac{1}{2}x^2-2x+2\right)\e^{-x}\\
& = \frac{1}{2}\big(x^2-4x+4\big)\e^{-x}\\
\Aboxed{f'(x) & = \frac{1}{2}(x-2)^2\e^{-x}}
\end{aligned}$

\item Pour tout $x$ dans $[0;+\infty[$, 
\begin{itemize}
\item $\dfrac{1}{2}>0$;
\item $(x-2)^2 \geqslant 0$;
\item $\e^{-x}>0$ (car une exponentielle est toujours strictement positive).
\end{itemize}

Ainsi, $f'(x) \geqslant 0$ comme produit de facteurs tous supérieurs ou égaux à 0, et donc \underline{$f$ est croissante sur $[0;+\infty[$}.

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\item Dans cette question, on doit trouver la valeur de $x$ à partir de laquelle $f(x)\geqslant0,995$. Mais hors de question de résoudre cette inéquation (on ne sait pas faire !).

À l'aide de la calculatrice, on peut entrer la fonction:
\[
g(x)=f(x)-0,995
\]
et dresser un tableau de valeurs de $g(x)$ (avec un pas de 1 pour commencer) afin de voir à partir de quelle valeur de $x$ on a $g(x) \geqslant 0$. On obtient le tableau ci-contre.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (tab) {
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline\rowcolor{numpagecorrige!20}
$x$ & $g(x)$\\
\hline
0	&-0,95\\
1	&-0,1339397206\\
2	&-0,08533528324\\
3	&-0,07446767092\\
4&	-0,04157819444\\
5	&-0,007272549492\\
6	&0,0177762217\\
7&	0,03313018364\\
8	&0,0416134343\\\hline
\end{tabular}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

Ainsi, on sait que la valeur cherchée est entre 5 h et 6 h.


\newpage


On construit alors le même tableau de valeurs, mais sur $[5;6]$ avec un pas de 0,1 et on obtient:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (tab) {
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline\rowcolor{numpagecorrige!20}
$x$ & $g(x)$\\
\hline
5&	-0,007272549492\\
5,1	&-0,004291528166\\
5,2	&-0,001414380401\\
5,3	&0,001356917377\\
5,4	&0,004021206004\\\hline
\end{tabular}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On sait alors que $x \in [5,2 ; 5,3]$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (tab) {
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline\rowcolor{numpagecorrige!20}
$x$ & $g(x)$\\
\hline
5,2	&-0,001414380401\\
5,21	&-0,001132462147\\
5,22	&-0,0008516045709\\
5,23&	-0,0005718090953\\
5,24&	-0,0002930770642\\
5,25&	-0,0000154097422\\
5,26&	0,0002611916841\\
5,27&	0,000536726105\\\hline
\end{tabular}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On trouve alors que $x \approx 5,25$, soit $5,25 \times 60 = 315$ minutes.

\medskip


\underline{La batterie sera estimée pleine au bout de 315 minutes (soit 5 h 15 min).}

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
0 \leqslant f'(x) \leqslant 0,01 & \iff f'(x) \leqslant 0,01  \text{ car $f'(x)\geqslant0$}\\
& \iff \dfrac{1}{2}(x-2)^2\e^{-x} \leqslant \dfrac{1}{100}\\
& \iff 50(x-2)^2\e^{-x} \leqslant 1 \text{ en multipliant par 50 les deux membres}\\
& \iff \underline{(x-2)^2\e^{-x} - 1 \leqslant 0}.
\end{aligned}$

\item En traçant la courbe représentative de la fonction $x \mapsto (x-2)^2\e^{-x} - 1$, on s'aperçoit que cette fonction est négative sur un intervalle dont les bornes peuvent être trouvées en zoomant, où à l'aide des fonctions de la calculatrice permettant de trouver l'intersection de deux courbes. On peut aussi dresser un tableau de valeurs de cette fonction pour voir qu'elle est négative sur à peu près $[1,67~;~2,49]$. De plus, $1,67\times60\approx100$ et $2,49\times60\approx149$.

\underline{La plage d'accalmie est donc sur la période $[100;149]$ (en minutes).}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
