On observe la charge d'une batterie vide en fonction du temps, et on modélise son taux de remplissage par la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par:
\[
f(x)=1-\frac{1}{2}(x^2-2x+2)\e^{-x}\,,
\]
où $x$ est exprimé en heure.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée de $f(x)$ est:
\[
f'(x)=\frac{1}{2}(x-2)^2\e^{-x}.
\]

\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$.

\item On estime que la batterie est pleine lorsque $f(x) \geqslant 0,995$.

À l'aide de votre calculatrice, estimer la durée (en minutes) de charge totale de la batterie en expliquant votre démarche.

\item On appelle \og plage d'accalmie \fg{} la période durant laquelle le nombre dérivé de la fonction $f$ est compris entre 0 et 0,01.

\begin{enumerate}
\item Montrer que chercher la plage d'accalmie revient à résoudre l'inéquation :
\[
50(x-2)^2\e^{-x}-1 \leqslant 0.
\]

\item À l'aide de votre calculatrice, estimer alors une plage d'accalmie à la minute près en expliquant votre démarche.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

