
\begin{enumerate}
\item $f(x) = (7x-1)\e^x$ est de la forme $u\times v$ avec:
\begin{multicols}{2}
$u(x) = 7x-1$

$u'(x) = 7$

\columnbreak

$v(x) = \e^x$

$v'(x) = \e^x$
\end{multicols}

D'où:
\begin{align*}
f'(x) & = (u'v+v'u)(x)\\
& = 7\e^x + (7x-1)\e^x
\intertext{On peut alors factoriser par $\e^x$}
f'(x) & = (7 + 7x-1)\e^x\\
\Aboxed{f'(x) & = (7x+6)\e^x}
\end{align*}

\item Afin d'étudier les variations de $f$ sur \R, nous devos trouver le signe de $f'(x)$ sur \R.

Or, pour tout réel $x$, $\e^x > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $7x+6$.
\begin{align*}
7x+6>0 & \iff 7x > -6\\
& \iff x > -\frac{6}{7}
\end{align*}
On en déduit alors le tableau suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,$-\frac{6}{7}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
