
$f(x)=\dfrac{\e^x}{1+\e^x}=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, avec $u'(x)=\e^x$ et $v'(x) = \e^x$.
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'v-v'u}{v^2}\\
& = \dfrac{\e^x(1+\e^x) - \e^x\times\e^x}{(1+\e^x)^2}\\
& = \dfrac{\e^x+\e^{2x}-\e^{2x}}{(1+\e^x)^2}\\
f'(x) & = \dfrac{\e^x}{(1+\e^x)^2} > 0
\end{align*}

Ainsi, $f$ est strictement croissante sur \R (inutile de faire un tableau de variations quand la fonction est strictement monotone comme ici).
