
\begin{enumerate}
\item Le discriminant de $v^2 -30v + 81$ est:
\[
\Delta = (-30)^2 - 4 \times 1 \times 81 = 576 = 24^2.
\]
Donc l'équation $v^2 -30v + 81=0$ admet deux solutions:
\[
v_1 = \dfrac{30-24}{2}=3\qquad\text{et}\qquad v_2=27.
\]

\item En posant $v = 81^{\sin^2(x)}$, et en tenant compte du fait que pour tout réel $x$,\linebreak  $\cos^2(x) = 1-\sin^2(x)$,
\begin{align*}
(E) & \iff v + \frac{81}{v} = 30\\
    & \iff v^2 + 81 = 30v\\
    & \iff v^2 - 30v + 81 = 0\\
    & \iff v = 3\text{ ou } v=27\\
    & \iff \big(3^4\big)^{\sin^2(x)} = 3 \text{ ou } \big(3^4\big)^{\sin^2(x)} = 3^3\\
    & \iff 3^{4\sin^2(x)}=3^1 \text{ ou } 3^{4\sin^2(x)}=3^3
    \end{align*}
    
    \begin{align*}
    & \iff 4\sin^2(x) = 1 \text{ ou } 4\sin^2(x) = 3\\
    & \iff \sin^2(x) = \dfrac{1}{4} \text{ ou } \sin^2(x) = \dfrac{3}{4}\\
    & \iff \sin(x) = -\dfrac{\sqrt2}{2}\text{ ou }\sin(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}\text{ ou }\sin(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}\text{ ou }\sin(x)=\dfrac{\sqrt3}{2}.
\end{align*}
L'ensemble solution de l'équation $81^{\sin^2(x)} + 81^{\cos^2(x)} = 30$ est donc:
\[
\boxed{ \mathcal{S} = \left\{ -\dfrac{\sqrt2}{2}~;\dfrac{\sqrt2}{2}~~;~ -\dfrac{\sqrt3}{2} ~;~ \dfrac{\sqrt3}{2} \right\} }
\]
\end{enumerate}
