
\begin{enumerate}
\item Le domaine de définition  de $f$ est \R, donc centré en 0. De plus,
\begin{align*}
f(-x) & = 1+\sin(-x)-\dfrac{1}{2}\cos(-2x)\\
& = 1-\sin(x)-\dfrac{1}{2}\cos(2x)
\end{align*}
car la fonction $\sin$ est impaire (donc $\sin(-x)=-\sin x$) et la fonction $\cos$ est paire (donc $\cos(-2x)=\cos(2x)$).

Ainsi, $f(-x)\neq f(x)$ et $f(-x)\neq-f(x)$; la fonction $f$ n'est donc ni paire, ni impaire.

\item $\begin{aligned}[t]
f(x+2\pi) & = 1+\sin(x+2\pi) - \dfrac{1}{2}\cos\big[2(x+2\pi)\big]\\& = 1+\sin x - \dfrac{1}{2}\cos(2x+4\pi)\\
& = 1 + \sin x - \dfrac{1}{2}\cos(2x)\\
& = f(x).
\end{aligned}$

\uline{Donc $f$ est $2\pi$-périodique.}
\end{enumerate}
