
Dès lors que nous souhaitons calculer la mesure d'un angle, le produit scalaire peut nous être utile. Exprimons alors $\prodscal{AI}{DJ}$ de deux manières différentes.

\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
\prodscal{AI}{DJ} & = \big(\vv{AD} + \vv{DI}\big) \cdot \big(\vv{DA} + \vv{AJ}\big)\\
& = \prodscal{AD}{DA} + \prodscal{AD}{AJ} + \prodscal{DI}{DA} + \prodscal{DI}{AJ}\\
& = -AD^2 + 0 + 0 + DI\times AJ\\
& = -AD^2 + \dfrac{1}{2}AD \times \dfrac{3}{4}AD\\
& = -AD^2 + \dfrac{3}{8}AD^2\\
& = -\dfrac{5}{8}AD^2.\qquad(1)
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\prodscal{AI}{DJ} & = AD \times DJ \times \cos\theta\\
& = \sqrt{DI^2+DA^2} \times \sqrt{AJ^2+AD^2} \times\cos\theta\\
& = \sqrt{\dfrac{1}{4}DA^2+DA^2} \times \sqrt{\dfrac{9}{16}DA^2+DA^2}\times\cos\theta\\
& = \sqrt{\dfrac{5}{4}DA^2} \times \sqrt{\dfrac{25}{16}DA^2} \times \cos\theta\\
& = \dfrac{5\sqrt5}{8}AD\cos\theta\qquad(2)
\end{aligned}$
\end{itemize}
Des égalités (1) et (2), on peut alors déduire:
\[
-\dfrac{5}{8}AD^2 = \dfrac{5\sqrt5}{8}AD\cos\theta \qquad\text{soit}\qquad \cos\theta = -\dfrac{1}{\sqrt5}.
\]
Ainsi,
\[
\theta = \arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt5}\right) \approx 117^\circ.
\]
