Dans le plan, on considère un point $M$ et un cercle $\Gamma$, de centre $O$ et de rayon $r$.

Soit $d$ une droite passant par $M$ et coupant $\Gamma$ en deux points $A$ et $B$.

On appelle \textit{puissance de $M$ par rapport à $\Gamma$} le nombre : $\rm\mathcal{P}_\Gamma(M)=OM^2-r^2$.

\begin{enumerate}
\item En considérant le projeté orthogonal de $O$ sur $(AB)$, c'est-à-dire le point $H$ de $(AB)$ tel que $(OH)\perp(AB)$, montrer que :
\begin{itemize}
\item si $M$ est à l'extérieur de $\Gamma$ alors $MA \times MB = \mathcal{P}_\Gamma(M)$;
\item sinon, $MA \times MB = -\mathcal{P}_\Gamma(M)$
\end{itemize}

\item On considère un cercle $\Gamma^\prime$, de centre $O^\prime$ distinct de $O$, et de  rayon $r^\prime$. Soit $M$ un point tel que $\mathcal{P}_\Gamma(M) = \mathcal{P}_{\Gamma^\prime}(M)$.

\begin{enumerate}
\item Soient $K$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(OO')$ et $I$ le milieu de $[OO']$.

Après avoir justifié que $r^2-r'^2=MO^2-MO'^2$, montrer que $r^2-r'^2=2\prodscal{OO'}{IK}$.

\item Déterminer alors l'ensemble des points $M$.

Cet ensemble est appelé l'\textit{axe radical des deux cercles}.
\end{enumerate}

\item Soit $\Gamma''$ un troisième cercle de centre $O''$ tel que $O''$ n'appartient pas à $(OO')$.

Montrer que les trois axes radicaux sont concourants en vous aidant de la notion de puissance d'un point par rapport à un cercle.
\end{enumerate}

