Soit $ABCD$ un carré de côté 1.

La bissectrice de $\widehat{CAD}$ coupe $[CD]$ en $M$.

On admet que:
\[
\cos\frac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.
\]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (4,0) node[below right] {B} -- (4,4) node[above right] {C} -- (0,4) node[above left] {D} -- cycle;
\draw (0,0) -- (4,4);
\draw (0,0) -- (1.6,4) node[above] {M};
\draw[thick,red] (45:1cm) arc(45:67.5:1cm);
\draw[thick,red] (67.5:1cm) arc(67.5:90:1cm);
\node[red] at (56:1cm) {\textbf{/}};
\node[red] at (78:1cm) {\textbf{/}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En utilisant la formule du produit scalaire avec le cosinus, montrer que:
\[
\prodscal{AC}{AM}=\dfrac{AM\sqrt{4+2\sqrt2}}{2}.
\]
\item En utilisant la relation de Chasles, montrer que:
\[
\prodscal{AC}{AM}=1+DM.
\]
\item En déduire que:
\[
\dfrac{\sqrt2}{2}DM^2 -2DM + \dfrac{\sqrt2}{2}=0.
\]
\item En déduire que $DM=\sqrt2-1$.
\end{enumerate}

