$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=4$ et $AD=2$. $E$ est le point de $[DC]$ tel que $DE=1$. Les droites $(AE)$ et $(BD)$ se coupent en $H$ et $N$ est le milieu de $[AB]$.

\medskip


\begin{tikzpicture}[baseline=-3em]
\draw (0,0) node[above left] {A} -- (4,0) node[above right] {B} -- (4,-2) node[below right] {C} -- (0,-2) node[below left] {D} -- cycle;
\draw[dashed] (0,-2) -- (4,0);
\draw[dashed] (0,0) -- (1,-2) node[below] {E};
\draw (2,0.1) node[above] {N} -- (2,-0.1);
\node[above] at (0.9,-1.5) {H};
\end{tikzpicture}
\hfill
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Décomposer $\vv{AE}$ et $\vv{BD}$ à l'aide de la relation de Chasles, puis calculer $\prodscal{AE}{BD}$.

Que peut-on conclure quant à $(AE)$ et $(BD)$ ?

\item En calculant de deux façons différentes $\prodscal{BA}{BD}$, trouver $BH$.
\end{enumerate}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer que $\vv{HA}+\vv{HB}=2\vv{HN}$.

\item Calculer $HA$, puis montrer que $\prodscal{HN}{HA}=\dfrac{8}{5}$.

\item Justifier que $HN=2$.

\item Calculer $\cos\angle{AHN}$ et en déduire une valeur approchée de $\angle{AHN}$ au degré près.
\end{enumerate}

