
\begin{enumerate}
\item A\coord{-1}{2} et $(d)$ a pour équation cartésienne $-2x+3y-5=0$.

Notons H\coord{a}{b} le projeté orthogonal de A sur $(d)$, et $\vv{u}$ un vecteur directeur de $(d)$.

Alors, 
\begin{align*}
\vv{AH}\cdot\vv{u}=0 & \iff \dbinom{a+1}{b-2}\cdot\dbinom{-3}{-2}=0\\
& \iff -3(a+1)-2(b-2)=0\\
& \iff -3a-2b+1=0.
\end{align*}

De plus, $H\in(d)$ donc ses coordonnées vérifient son équation :
\[
-2a+3b-5=0.
\]
On a ainsi :
\begin{align*}
\systeme[ab]{-3a-2b=-1@L_1,-2a+3b=5@L_2}
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{6a+4b=2@-2L_1,-6a+9b=15@3L_2}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{6a+4b=2@L_1,13b=17@L_1+L_2}
\end{align*}
On en déduit que $b=\dfrac{17}{13}$ et, en remplaçant $b$ par cette valeur dans l'équation\linebreak$-2a+3b=5$, on obtient $a=-\dfrac{7}{13}$.

\medskip

\underline{Ainsi, H\coord{\dfrac{17}{13}}{-\dfrac{7}{13}}.}

\item A\coord{1}{6} et $(d)$ a pour équation cartésienne $3x-5y-7=0$.

Notons H\coord{a}{b} le projeté orthogonal de A sur $(d)$, et $\vv{u}$ un vecteur directeur de $(d)$.

Alors, 
\begin{align*}
\vv{AH}\cdot\vv{u}=0 & \iff \dbinom{a-1}{b-6}\cdot\dbinom{5}{3}=0\\
& \iff 5(a-1)+3(b-6)=0\\
& \iff 5a+3b-23=0.
\end{align*}

De plus, $H\in(d)$ donc ses coordonnées vérifient son équation :
\[
3a-5b-7=0.
\]
On a ainsi :
\begin{align*}
\systeme[ab]{5a+3b=23@L_1,3a-5b=7@L_2}
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{15a+9b=69@3L_1,15a-25b=35@5L_2}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{15a+9b=69@L_1,34b=34@L_1-L_2}
\end{align*}
On en déduit que $b=1$ et, en remplaçant $b$ par cette valeur dans l'équation $3a-5b=7$, on obtient $a=4$.

\medskip

\underline{Ainsi, H\coord{4}{1}.}

\item A\coord{-6}{-7} et $(d)$ a pour équation cartésienne $-5x-8y+3=0$.

Notons H\coord{a}{b} le projeté orthogonal de A sur $(d)$, et $\vv{u}$ un vecteur directeur de $(d)$.

Alors, 
\begin{align*}
\vv{AH}\cdot\vv{u}=0 & \iff \dbinom{a+6}{b+7}\cdot\dbinom{8}{-5}=0\\
& \iff 8(a+6)-5(b+7)=0\\
& \iff 8a-5b+13=0.
\end{align*}

De plus, $H\in(d)$ donc ses coordonnées vérifient son équation :
\[
-5a-8b+3=0.
\]
On a ainsi :
\begin{align*}
\systeme[ab]{8a-5b=-13@L_1,-5a-8b=-3@L_2}
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{40a-25b=-65@5L_1,-40a-64b=-24@8L_2}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{40a-25b=-65@L_1,-89b=-89@L_1+L_2}
\end{align*}
On en déduit que $b=1$ et, en remplaçant $b$ par cette valeur dans l'équation\linebreak$-5a-8b=-3$, on obtient $a=-1$.

\medskip

\underline{Ainsi, H\coord{-1}{1}.}

\bigskip

\item A\coord{7}{1} et $(d)$ a pour équation cartésienne $3x+5y+8=0$.

Notons H\coord{a}{b} le projeté orthogonal de A sur $(d)$, et $\vv{u}$ un vecteur directeur de $(d)$.

Alors, 
\begin{align*}
\vv{AH}\cdot\vv{u}=0 & \iff \dbinom{a-7}{b-1}\cdot\dbinom{-5}{3}=0\\
& \iff -5(a-7)+3(b-1)=0\\
& \iff -5a+3b+32=0.
\end{align*}

De plus, $H\in(d)$ donc ses coordonnées vérifient son équation :
\[
3a+5b+8=0.
\]
On a ainsi :
\begin{align*}
\systeme[ab]{-5a+3b=-32@L_1,3a+5b=-8@L_2}
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{-15a+9b=-96@3L_1,15a+25b=-40@5L_2}\\
& \iff \systeme[autonum code = L_{*}\longleftarrow]{-15a+9b=-96@L_1,34b=-136@L_1+L_2}
\end{align*}
On en déduit que $b=-4$ et, en remplaçant $b$ par cette valeur dans l'équation\linebreak$3a+5b+8=0$, on obtient $a=4$.

\medskip

\underline{Ainsi, H\coord{4}{-4}.}
\end{enumerate}
