
Avant tout, remarquons que $a$ et $b$ ne peuvent pas être tous deux nuls. En effet, si $a=b=0$ l'équation de la droite est réduite à $12=0$, ce qui ne correspond pas à une équation de droite.

Faisons une disjonction de cas sur $a$ et $b$ :

\begin{itemize}
\item Si $b=0$ et $a\neq0$, l'équation de la droite devient $ax+12=0$, soit $x=-\dfrac{12}{a}$. En remplaçant $x$ par cette valeur dans l'équation du cercle, on a :
\begin{align*}
\left(-\dfrac{12}{a}+2\right)^2+(y-4)^2=36
& \iff \dfrac{144}{a^2}-\dfrac{48}{a}+4+y^2-8y+16=36\\
& \iff y^2-8y-20+\dfrac{144}{a^2}-\dfrac{48}{a}=0.
\end{align*}
S'il existe deux points d'intersection distincts alors cette dernière équation admet deux solutions distinctes, et donc son discriminant est strictement positif :
\begin{align*}
\Delta>0 & \iff 64-4\left(-20+\dfrac{144}{a^2}-\dfrac{48}{a}\right))>0\\
& \iff 64+20-\dfrac{576}{a^2}+\dfrac{192}{a}>0\\
& \iff 84-\dfrac{576}{a^2}+\dfrac{192}{a}>0\\
& \iff \dfrac{84a^2-576+192a}{a^2}>0.
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $84a^2+192a-576$ est :
\[
\Delta^\prime = \numprint{230400}
\]
donc il admet deux racines distinctes :
\[
a_1=\dfrac{-192-\sqrt{\numprint{230400}}}{168}=-4
\]
et
\[
a_2 = \dfrac{-192+\sqrt{\numprint{230400}}}{168}=\dfrac{12}{7}.
\]
Ainsi, les solutions de l'inéquation $84a^2-576+192a>0$ sont dans l'ensemble $\intervOO{-\infty}{-4}\cup\intervOO{\dfrac{12}{7}}{+\infty}$.

\medskip

\textbf{1\ier{} résultat : } il existe deux points d'intersection distincts si $b=0$ et\linebreak $a\in \intervOO{-\infty}{-4}\cup\intervOO{\dfrac{12}{7}}{+\infty}$.

\bigskip

\item Si $a=0$ et $b\neq0$, l'équation de la droite devient $by+12=0$, soit $y=-\dfrac{12}{b}$. En remplaçant $y$ par cette valeur dans l'équation du cercle, on a :
\begin{align*}
(x+2)^2+\left(-\dfrac{12}{b}-4\right)^2=36
& \iff x^2+4x+4+\dfrac{144}{b^2}+\dfrac{96}{b}+16=36\\
& \iff x^2+4x-16+\dfrac{144}{b^2}+\dfrac{96}{b}=0.
\end{align*}
S'il existe deux points d'intersection distincts alors cette dernière équation admet deux solutions distinctes, et donc son discriminant est strictement positif :
\begin{align*}
\Delta>0 & \iff 16-4\left(-16+\dfrac{144}{b^2}+\dfrac{96}{b}\right)>0\\
& \iff 80-\dfrac{576}{b^2}-\dfrac{384}{b}>0\\
& \iff \dfrac{80b^2-576-384b}{b^2}>0.
\end{align*}
Le discriminant du polynôme $80b^2-384b-576$ est :
\[
\Delta^\prime = \numprint{331776}=576^2
\]
donc il admet deux racines distinctes :
\[
b_1=\dfrac{384-576}{160}=-\dfrac{6}{5}
\]
et
\[
b_2 = \dfrac{384+576}{160}=6.
\]
Ainsi, les solutions de l'inéquation $80b^2-576-384b>0$ sont dans l'ensemble\linebreak $\intervOO{-\infty}{-\dfrac{6}{5}}\cup\intervOO{6}{+\infty}$.

\medskip

\textbf{2\ieme{} résultat : } il existe deux points d'intersection distincts si $a=0$ et \mbox{$b\in \intervOO{-\infty}{-\dfrac{6}{5}}\cup\intervOO{6}{+\infty}$}.

\bigskip

\item Si $a\neq0$ et $b\neq0$ alors l'équation réduite de la droite est :
\[
y = -\dfrac{a}{b}x-\dfrac{12}{b}.
\]
En remplaçant $y$ dans l'équation du cercle, on obtient :

\medskip

\hspace*{-1cm}$\begin{aligned}
(x+2)^2+\left(-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{12}{b}-4\right)^2=36
& \iff (x+2)^2+\left(\dfrac{a}{b}x+\dfrac{12}{b}+4\right)^2=36\\
& \iff x^2+4x+4+\dfrac{a^2}{b^2}x^2+\dfrac{2a}{b}\left(\dfrac{12}{b}+4\right)x+\left(\dfrac{12}{b}+4\right)^2-36=0\\
& \iff \left(1+\dfrac{a^2}{b^2}\right)x^2+\left(4+\dfrac{24a}{b^2}+\dfrac{8a}{b} \right)x + 4+\dfrac{144}{b^2}+\dfrac{96}{b}+16-36=0\\
& \iff \left(1+\dfrac{a^2}{b^2}\right)x^2+\left(\dfrac{4b^2+24a+8ab}{b^2}\right)x-16+\dfrac{144+96b}{b^2}=0.
\end{aligned}$

S'il existe deux points d'intersection alors le discriminant de cette dernière équation est strictement positif :
\begin{align*}
& \left(\dfrac{4b^2+24a+8ab}{b^2}\right)^2-4\left(1+\dfrac{a^2}{b^2}\right)\left(\dfrac{144+96b}{b^2}-16\right)>0\\
\iff\ & \dfrac{128a^2+80b^2+192a-384b+64ab-576}{b^2}>0\\
\iff\ & 8a^2+5b^2+12a+4b+4ab>0.
\end{align*}

\medskip

\textbf{3\ieme{} résultat : } il existe deux points d'intersection distincts si $a\neq0$, $b\neq0$ et\linebreak$8a^2+5b^2+12a+4b+4ab>0$.
\end{itemize}

On peut pousser notre curiosité au-delà de ces résultats en représentant géométriquement les ensembles solutions.

Un logiciel de géométrie (Geogebra par exemple) nous permet de visualiser l'ensemble des points de coordonnées \coord{a}{b} tels que $8a^2+5b^2+12a+4b+4ab$ : c'est ce que l'on appelle une \textit{ellipse} (représentée en \textcolor{cyan}{cyan} sur la figure suivante. 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5,>=latex]
\fill[cyan,opacity=0.25] (-8,-8) rectangle (8,8);
\fill [fill=white,draw=cyan,rotate around={-63.43494882292201:(-0.7222222222222222,-0.1111111111111111)}] (-0.7222222222222222,-0.1111111111111111) ellipse (1.0671873729054748cm and 0.7114582486036499cm);
\draw[gray,dashed] (-8,-8) grid (8,8);
\draw[->] (-8,0) -- (8,0) node[below right] {$a$};
\draw[->] (0,-8) -- (0,8) node[right] {$b$};
\node[below left] at (0,0) {0};
\draw[very thick,red,-(] (-8,0) -- (-4,0);
\draw[very thick,red,)-] ({12/7},0) -- (8,0);
\draw[very thick,violet,-(] (0,-8) -- (0,{-6/5});
\draw[very thick,violet,)-] (0,6) -- (0,8);
\draw[very thick,white] (-4,0) -- ({12/7},0);
\draw[very thick,white] (0,{-6/5}) -- (0,6);
\end{tikzpicture}
\end{center}

L'ensemble des points tels que $8a^2+5b^2+12a+4b+4ab>0$ est donc l'ensemble des points intérieurs ou extérieurs. Pour le savoir, on peut par exemple prendre le point de coordonnées \coord{-1}{0} (donc en prenant $a=-1$ et $b=0$). Alors, $8a^2+5b^2+12a+4b+4ab=-4<0$ donc ce point n'appartient pas à l'ensemble souhaité. Ainsi, l'ensemble des points de coordonnées \coord{a}{b} tels que $8a^2+5b^2+12a+4b+4ab>0$ est le plan privé de l'ellipse (représenté en cyan).

L'ensemble rouge est l'ensemble des points du 1\ier{} résultat et l'ensemble violet est celui du 2\ieme{} résultat.


Cela signifie que si on prend n'importe quel point de coordonnées \coord{a}{b} en dehors des ensembles blancs, alors le cercle et la droite se coupent en deux points distincts.
