
Avant tout, faisons une figure (approximative) :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzInit[xmin=-1,ymin=-1,xmax=10,ymax=5]
\tkzClip
\tkzDefPoint[label=210:A](0,0){A}
\tkzDefPoint[label=-30:B](6,0){B}
\tkzDefPoint[label=30:C](9,4){C}
\tkzDefPoint[label=130:D](3,4){D}
\tkzDefPointBy[projection=onto A--C](D)\tkzGetPoint{I}
\tkzDefPointBy[projection=onto A--C](B)\tkzGetPoint{J}
\tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
\tkzDrawSegment(A,C)
\tkzDrawSegment[color=red,line width=2pt](I,J)
\tkzLabelPoint[below,red](I){I}
\tkzLabelPoint[above,red](J){J}
\tkzDrawSegments[style=dashed](D,I B,J)
\tkzMarkRightAngle(A,I,D)
\tkzMarkRightAngle(B,J,A)
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}

\item\label{exo-prodscal-1} On a:
\begin{align*}
\prodscal{AC}{AB} & = \rm AC \times AJ\\
\prodscal{AC}{AD} & = \rm AC \times AI
\end{align*}

En additionnant membre à membre ces deux égalités, on obtient :
\[
\prodscal{AC}{AB}+\prodscal{AC}{AD}=\rm AC\times AJ + AC\times AI\]
soit :
\[
\rm \vv{AC}\cdot\big(\vv{AB}+\vv{AD}\big) = AC \times (AJ + AI)\]
c'est-à-dire :
\[
\prodscal{AC}{AC}=\rm AC\times(AJ+AI)
\]
ou encore :
\[
\rm AC^2 = AC(AJ+AI).
\]
Ainsi,
\[
\rm AC = AJ+AI.
\]
Or, 
\[
\rm AC = AJ + JC
\]
donc 
\[
\rm JC = AI.
\]

\item D'après la propriété \ref{prop:identités avec des normes} du cours du chapitre précédent,
\begin{align*}
\prodscal{AB}{AD} & = \rm \dfrac{1}{2}\Big(\|\vv{AB}+\vv{AD}\|^2-\|\vv{AB}\|^2-\|\vv{AD}\|^2\Big)\\
& \rm = \dfrac{1}{2}\Big(\|\vv{AC}\|^2-\|\vv{AB}\|^2-\|\vv{AD}\|^2\Big)\\
& \rm = \dfrac{1}{2}(AC^2-6^2-5^2)\\
& = \rm \dfrac{1}{2}(AC^2-61).
\end{align*}

De plus,
\begin{align*}
\prodscal{AB}{AD} & = \rm AB \times AD \times \cos\angleor{AB}{AD}\\
& = 6 \times 5 \times \cos\dfrac{\pi}{3}\\
& = 15.
\end{align*}

Ainsi, 
\begin{align*}
\rm \dfrac{1}{2}(AC^2-61) = 15 & \iff \rm AC^2-61=30\\
& \iff \rm AC^2=91\\
& \iff \boxed{\rm AC = \sqrt{91}}
\end{align*}

\item On sait que $\rm AC = 2AI + IJ$ d'après la question \ref{exo-prodscal-1}, donc :
\[
\rm IJ = AC - 2AI.
\]
Or, AID est un triangle rectangle en I donc :
\[
\rm \cos\angleor{AI}{AD}=\dfrac{AI}{AD}
\]
soit :
\[
\boxed{\rm AI = AD \times\cos\angleor{AI}{AD}}
\]
\item D'après la formule d'Al-Kashi appliquée au triangle ACD,
\[
\rm DC^2 = AD^2 + AC^2 - 2\times AC \times AD \times\cos\angleor{AI}{AD}
\]
soit :
\[
\boxed{\cos\angleor{AI}{AD} = \dfrac{36-25-91}{-2\times5\times\sqrt{91}}=\dfrac{8\sqrt{91}}{91}}
\]
\item On en déduit alors :
\[
\rm AI = 5 \times \dfrac{8\sqrt{91}}{91} = \dfrac{40\sqrt{91}}{91}.
\]
\newpage
Donc :
\[
\rm IJ = \sqrt{91}-2\times \dfrac{40\sqrt{91}}{91}
\]
soit :
\[
\boxed{\rm IJ = \dfrac{11\sqrt{91}}{91}}
\]
\end{enumerate}
