

\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilité modélisant la situation est le suivant:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.75,xscale=2]
\node (R) at (2,2) {R};
\node (V) at (2,-2) {V};
\node (RG) at (4,3) {G};
\node (RGB) at (4,1) {\evcont{G}};
\node (VG) at (4,-1) {G};
\node (VGB) at (4,-3) {\evcont{G}};
\draw (0,0) -- (R.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{3}{5}$};
\draw (0,0) -- (V.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{2}{5}$};
\draw (R.east) -- (RG.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{6}$};
\draw (R.east) -- (RGB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{5}{6}$};
\draw (V.east) -- (VG.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{3}{4}$};
\draw (V.east) -- (VGB.west) node[midway,fill=pagecorrige!30] {$\frac{1}{4}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On doit ici calculer $P(V \cap G)$ qui, d'après le cours, est égale à:
\[
P(V \cap G) = P(V) \times P_V(G) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4}  = \dfrac{3}{10}.
\]

\item D'après la formule des probabilités totales,
\begin{align*}
P(G) & = P(V \cap G) + P(V \cap \evcont{G})\\
& = \dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{6}\\
& = \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{10}\\
& = \dfrac{4}{10}\\
\Aboxed{P(G) & = \dfrac{2}{5}}
\end{align*}

\item On souhaite ici calculer $\probacond{R}{G}$ qui, d'après le cours, est égale à:
\begin{align*}
\probacond{R}{G} & = \dfrac{P(R \cap G)}{P(G)}\\
& = \dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{5}}\\
& = \dfrac{1}{10}\times\dfrac{5}{2}\\
\Aboxed{\probacond{R}{G} & = \dfrac{1}{4}}
\end{align*}

\item Tirer au hasard et simultanément deux jetons revient à en tirer un, puis un autre (sans remettre le premier dans l'urne).

On sait que la probabilité de tirer un premier jeton gagnant est $P(G)=\dfrac{2}{5}$ d'après la question 3. Mais une fois ce jeton choisi, nous avons une autre configuration:

\begin{itemize}
\item si le premier jeton gagnant est rouge, alors il n'y a plus de jeton gagnant rouge pour le second tirage; la probabilité de tirer un jeton gagnant est donc égale à :
\[
P(V \cap G) = \dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{3}.
\]
\item si le premier jeton gagnant est vert, alors il y a encore un jeton rouge gagnant (sur les 9 jetons restants) et 2 jetons gagnants verts; la probabilité de tirer un second jeton gagnant est donc égale à :
\begin{align*}
P(R\cap G) + P(V\cap G) & = \dfrac{6}{9}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{9}\times\dfrac{2}{3}\\
& = \dfrac{1}{3}.
\end{align*}
\end{itemize}

La probabilité de tirer simultanément deux jetons gagnants est alors égale à :
\[
\dfrac{2}{5}\times\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)=\boxed{\dfrac{4}{15}}.
\]
C'est la probabilité de tirer un premier jeton gagnant ($\dfrac{2}{5}$) ET (multiplication) la probabilité de tirer un second jeton gagnant rouge OU (addition) vert.
\end{enumerate}
