\textit{Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.}

\medskip

Une enquête a été menée auprès de lycéens pour estimer la proportion de ceux qui ont déjà consommé du cannabis. Pour encourager les réponses sincères, on met en place le protocole suivant : chaque adolescent lance d'abord un dé équilibré à 6 faces et l'enquêteur qui va l'interroger ne connaît pas le résultat du lancer. À la question \og Avez-vous déjà consommé du cannabis ? \fg, l'adolescent doit répondre :
\begin{itemize}
\item \og non \fg{} si le résultat du lancer est 5, qu'il ait ou non déjà consommé du cannabis;
\item \og oui \fg{} si le résultat du lancer est 6, qu'il ait ou non déjà consommé du cannabis;
\item \og oui \fg{} ou \og non \fg{} dans les autres cas, mais de façon sincère.
\end{itemize}

On note :

\begin{itemize}
\item $N$ : l'évènement l'adolescent a répondu \og non \fg ;
\item $O$ : l'évènement l'adolescent a répondu \og oui \fg ;
\item $C$ : l'évènement l'adolescent a déjà consommé effectivement du cannabis ;
\item $\evcont{C}$ : l'évènement l'adolescent n'a jamais consommé du cannabis.
\end{itemize}

Sur les lycéens qui ont participé à cette enquête on constate que la probabilité qu'un adolescent ait répondu \og oui \fg{} est de $\dfrac{3}{5}$, soit $P(O)=\dfrac{3}{5}$.

On veut déterminer la probabilité, notée $p$, qu'un adolescent ait déjà consommé du cannabis.

On a donc $P(C)=p$.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la probabilité qu'un adolescent ait répondu \og oui \fg{} sachant qu'il n'a jamais consommé de cannabis est $\dfrac{1}{6}$.

\medskip

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}

\item On a représenté ci-contre l'arbre de probabilités représentant la situation. Compléter cet arbre.

\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité $p$ qu'un adolescent ait déjà consommé du cannabis vérifie l'équation :
\[
\dfrac{2}{3}p+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{5}.
\]
\item En déduire la valeur de $p$.
\end{enumerate}

\item Sachant qu'un adolescent a répondu \og non \fg{} pendant l'enquête, quelle est la probabilité qu'il n'ait jamais consommé de cannabis ?
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (M) at (2,2) {$C$};
\node (MB) at (2,-2) {$\evcont{C}$};
\node (TM) at (4,3) {$O$};
\node (TMB) at (4,1) {$N$};
\node (TBM) at (4,-1) {$O$};
\node (TBMB) at (4,-3) {$N$};
%
\draw (0,0) -- (M.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {$p$};
\draw (0,0) -- (MB.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {...};
\draw (M.east) -- (TM.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {...};
\draw (M.east) -- (TMB.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {...};
%
\draw (MB.east) -- (TBM.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {$\frac{1}{6}$};
\draw (MB.east) -- (TBMB.west) node[midway,fill=pageenonce!30] {...};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}

