
\begin{enumerate}
\item \textit{Si une personne est testée positive, quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?}

\medskip

Pour trouver $P(T)$, nous utilisons la loi des probabilités totales :
\begin{align*}
P(T) & = P_M(T)\times P(M) + P_{\evcont{M}}(T)\times P(S)\\
     & = (0,95\times0,005) + (0,02\times0,995)\\
     & = 0,00475 + 0,0199\\
     & = \numprint{0,02465}.
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
P_T(M) & = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)}\\
       & = \dfrac{0,95 \times 0,005}{\numprint{0,02465}}\\
       & \approx \numprint{0,1929}.
\end{align*}
La probabilité qu'une personne soit réellement atteinte de la malade rare sachant que son test est positif est d'environ \pourcent{19,29}.

\item \textit{Si une personne est testée négative, quelle est la probabilité qu'elle soit réellement saine ?}

\medskip

D'après la formule des probabilités totales:
\begin{align*}
P( \evcont{T} ) & = P(M) \times P_M(\evcont{T}) + P(\evcont{M})\times P_{\evcont{M}}( \evcont{T} )\\
& = (0,05\times0,005)+(0,98\times0,995)\\
& = \numprint{0,00025} + \numprint{0,9751}\\
& =\numprint{0,97535}.
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
P_{\evcont{T}}(\evcont{M}) & = \dfrac{P( \evcont{M} \cap \evcont{T} }{P( \evcont{T} )}\\
& = \dfrac{0,98 \times 0,995 }{\numprint{0,97535}}\\
& \approx 0,999.
\end{align*}

Donc, la probabilité qu'une personne testée négative soit réellement saine est d'environ \pourcent{99,9}.

\item \textit{Si une personne est testée positive deux fois, quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ? }

\medskip

Nous voulons calculer $P_{T_1 \cap T_2}(M)$. 

Nous savons que :
\begin{itemize}
\item $P_{M}(T_1)=P_M(T_2)=0,95$.
\item $P_M(T_1 \cap T_2)=P_M(T_1) \times P_M(T_2)=0,95\times0,95=\numprint{0,9025}$.
\end{itemize}

Pour calculer $P(T_1 \cap T_2)$, nous devons prendre en compte les probabilités conditionnelles pour les cas où la personne est malade et non malade.
\[
P(T_1 \cap T_2) = P_M(T_1 \cap T_2)\times P(M) + P_{\evcont{M}}(T_1 \cap T_2)\times P(\evcont{M}).
\]
Comme les événements $T_1$ et $T_2$ sont indépendants :
\[
P_{\evcont{M}}(T_1 \cap T_2) = P_{\evcont{M}}(T_1) \times P_{\evcont{M}}(T_2) = 0,02\times 0,02=\numprint{0,0004}.
\]
Donc :
\begin{align*}
P(T_1 \cap T_2) & = (0,9025\times0,005)+(\numprint{0,0004}\times0,995)\\
& = \numprint{0,0045125} + \numprint{0,000398}\\
& = \numprint{0,0049105}.
\end{align*}
Maintenant, nous pouvons calculer:
\[
P_{(T_1 \cap T_2)}(M) = \frac{0,9025\times0,005}{0,0049105} \approx 0,919.
\]
Donc, la probabilité qu'une personne testée positive deux fois soit réellement malade est d'environ \pourcent{91,9}.
\end{enumerate}
