Victor est un tireur à l'arc qui aime analyser son jeu. Sur une série de tirs, il a constaté que :
\begin{itemize}
\item lors du premier tir, la cible était atteinte 9 fois sur 10 ;
\item lorsque la cible est atteinte lors d'un tir, elle est atteinte au tir suivant avec une probabilité de 0,8 ;
\item lorsque la cible n'est pas atteinte lors d'un tir, elle n'est pas atteinte lors du tir suivant avec une probabilité de 0,3.
\end{itemize}

On note : A$_n$ l'événement : \og la cible est atteinte lors du $n$-ième lancer \fg.

\bigskip

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item Préciser la valeur de $\proba{A_1}$, $\proba{\evcont{A_1}}$, $\probacond{A_2}{A_1}$ et $\probacond{\evcont{A_2}}{\evcont{A_1}}$.
\item Faire un arbre de probabilités pour les deux premiers tirs.
\item Calculer $\proba{A_1 \cap A_2}$.
\item Montrer que $\proba{A_2}=0,79$.
\end{enumerate}

\bigskip

\partie{B}

On note $x_n=\proba{A_n}$ pour un entier $n$ supérieur ou égal à 1.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $x_{n+1}=0,1x_n+0,7$
\item On pose $u_n=x_n-\dfrac{7}{9}$
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est une suite géométrique de raison 0,1 et de premier terme $\dfrac{11}{90}$.
\item En déduire une expression de $u_n$, puis de $x_n$, en fonction de $n$.
\item Vers quel nombre semble se rapprocher $x_n$ ? Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

