Une urne, notée $U_1$, contient $k$ boules rouges, $k+1$ boules blanches et 2 boules noires, où $k$ est un entier naturel non nul. 

Une urne, notée $U_2$, contient $3$ boules rouges, $2$ boules blanches et $1$ boule noire.

Toutes les boules sont indiscernables au toucher.

Une \textit{expérience} consiste à tirer au hasard une boule de $U_1$, à la mettre dans $U_2$, puis à tirer un boule de $U_2$. 

Pour $i=1$ et $i=2$, on note :

\begin{itemize}
\item  $R_i$ l'événement : \og On tire une boule rouge de l'urne $U_i$. \fg
\item  $B_i$ l'événement : \og On tire une boule blanche de l'urne $U_i$. \fg
\item  $N_i$ l'événement : \og On tire une boule noire de l'urne $U_i$. \fg
\item  $D$ l'événement : \og On tire deux boules de couleurs différentes lors de l'expérience. \fg
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-90mm}
\item Compléter l'arbre des probabilités de l'expérience ci-contre.
\item Montrer que la probabilité de l'événement $D$ est $\proba{D}=\dfrac{k+2}{2k+3}$.
\end{minipage}
\begin{tikzpicture}[baseline=-4em]
\node at (-5,-1) {};
\node (o) {$\Omega$};
\node (R1) at ($(o)+(-3,-1)$) {$R_1$};
\node (B1) at ($(o)+(0,-1)$) {$B_1$};
\node (N1) at ($(o)+(3,-1)$) {$N_1$};
%
\node (R21) at ($(R1)+(-0.75,-1)$) {$R_2$};
\node (B21) at ($(R1)+(0,-1)$) {$B_2$};
\node (N21) at ($(R1)+(0.75,-1)$) {$N_2$};
%
\node (R22) at ($(B1)+(-0.75,-1)$) {$R_2$};
\node (B22) at ($(B1)+(0,-1)$) {$B_2$};
\node (N22) at ($(B1)+(0.75,-1)$) {$N_2$};
%
\node (R23) at ($(N1)+(-0.75,-1)$) {$R_2$};
\node (B23) at ($(N1)+(0,-1)$) {$B_2$};
\node (N23) at ($(N1)+(0.75,-1)$) {$N_2$};
%
\draw (o.south west) -- (R1.north east);
\draw (o.south) -- (B1.north);
\draw (o.south east) -- (N1.north west);
%
\draw (R1.south west) -- (R21.north);
\draw (R1.south) -- (B21.north);
\draw (R1.south east) -- (N21.north);
%
\draw (B1.south west) -- (R22.north);
\draw (B1.south) -- (B22.north);
\draw (B1.south east) -- (N22.north);
%
\draw (N1.south west) -- (R23.north);
\draw (N1.south) -- (B23.north);
\draw (N1.south east) -- (N23.north);
\end{tikzpicture}
\end{enumerate}

