On dispose d'une urne contenant 1 boule noire, 1 boule rouge, 2 boules jaunes et 3 boules bleues.

Un jeu consiste à effectuer deux tirages successifs sans remise dans cette urne.

\begin{itemize}
\item quand on tire une boule noire au 1\ier{} ou 2\up{nd} tirage, on ne gagne rien;
\item quand on tire une boule bleue au 2\up{nd} tirage, on gagne 1 \euro;
\item quand on tire une boule jaune au 2\up{nd} tirage, on gagne 5 \euro;
\item quand on tire une boule rouge au 2\up{nd} tirage, on gagne 10 \euro.
\end{itemize}

Pour avoir le droit de participer, un joueur doit miser 3 \euro.

On appelle X la variable aléatoire représentant le gain algébrique de ce jeu.

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré représentant la situation.
\item Donner la loi de probabilité de X.
\item Calculer l'espérance mathématique de X. Quelle conclusion peut-on alors faire ?
\item À la vue de la dernière conclusion, déterminer la mise de départ afin que le jeu soit équitable.
\item La mise de départ trouvée à la question précédente ne satisfaisant pas à l'organisateur du jeu, celui-ci souhaite modifier les règles du jeu. Il se demande s'il peut trouver une mise de départ pour laquelle le jeu serait équitable s'il multiplie tous les gains absolus (donc sans tenir compte de la mise de départ) par un entier $a$ non nul.

On pose Y la variable aléatoire représentant les gains algébriques de ce jeu avec les nouvelles règles. On note $m$ la mise de départ.
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $\text{Y}=a\text{X}+3a-m$.
\item Donner alors une réponse à la question de l'organisateur.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

